19. Задача с параметром: #212238

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} |3x| + |4y| = 12a \\ x^2 + (y- 5)^2 = 25.\end{cases} $$

При $a < 0$ система не имеет решений, так как левая часть первого уравнения неотрицательна. При $a = 0$ система имеет единственное решение $(0; 0).$

Рассмотрим случай $a > 0.$ В системе координат $xOy$ графиком первого уравнения является ромб с вершинами в точках $(0; 3a),$ $(0; -3a),$ $(4a; 0)$ и $(-4a; 0).$ Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $(0; 5)$ и радиусом $R = 5.$

Анализируя взаимное расположение ромба и окружности, получаем:

— При $0 < a < a_1$ ромб и окружность имеют две общие точки.
— При $a = a_1$ ромб и окружность имеют три общие точки.
— При $a_1 < a < a_2$ ромб и окружность имеют четыре общие точки.
— При $a = a_2$ ромб и окружность имеют две общие точки.
— При $a > a_2$ ромб и окружность не имеют общих точек.

Значение $a_1$ соответствует случаю, когда вершина ромба $(0; 3a)$ совпадает с точкой $(0; 10)$ на окружности: $$ |3 \cdot 0| + |4 \cdot 10| = 12a_1 \Rightarrow 40 = 12a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{10}{3} $$

Значение $a_2$ соответствует случаю, когда стороны ромба касаются окружности. Рассмотрим, например, прямую $3x + 4y- 12a = 0,$ которая является одной из сторон ромба. Расстояние от центра окружности $(0; 5)$ до этой прямой должно равняться радиусу: $$ \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 5- 12a|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5 \Rightarrow \frac{|20- 12a|}{5} = 5 \Rightarrow |20- 12a| = 25 $$

Решим это уравнение: $$ 20- 12a = 25 \quad \text{или} \quad 20- 12a = -25 $$
Из первого уравнения: $12a = -5 \Rightarrow a = -\dfrac{5}{12}$ $($не подходит, так как $a > 0).$
Из второго уравнения: $12a = 45 \Rightarrow a = \dfrac{15}{4}.$

Таким образом, исходная система имеет ровно два различных решения при $0 < a < \dfrac{10}{3}$ и при $a = \dfrac{15}{4}.$

Ответ: $(0; \dfrac{10}{3}) \cup {\dfrac{15}{4}}.$