19. Задача с параметром: #212239

Преобразуем первое уравнение системы:

$$ (xy^2- 2xy- 6y + 12) \sqrt{6- x} = 0 \Leftrightarrow (xy(y- 2)- 6(y- 2)) \sqrt{6- x} = 0 \Leftrightarrow $$
$$ \Leftrightarrow (xy- 6)(y- 2) \sqrt{6- x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} y = \dfrac{6}{x}, \ y = 2, \ x = 6, \ x \leq 6. \end{cases} $$

Исходная система имеет ровно три различных решения тогда и только тогда, когда графики функций $y = \dfrac{6}{x}$ и $y = 2$ и прямая $x = 6$ имеют с прямой $y = ax$ три различных точки пересечения на области $x \leq 6$ (см. рис.).

Из рисунка видно, что при $a < 0$ два решения, при $a = 0$ одно решение, при $0 < a \leq \dfrac{1}{6}$ два решения, при $\dfrac{1}{6} < a \leq \dfrac{1}{3}$ три решения, при $\dfrac{1}{3} < a < \dfrac{2}{3}$ четыре решения, при $a = \dfrac{2}{3}$ три решения, при $a > \dfrac{2}{3}$ четыре решения.

Ответ: $\left(\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{3}\right] \cup \left\{ \dfrac{2}{3} \right\} .$