19. Задача с параметром: #212241

Запишем второе уравнение системы в виде: $y = \pm (x^2- 2x),$ его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками $(0; 0)$ и $(2; 0).$

Найдем такие $a,$ при которых прямая $y = a- x$ является касательной к графику $y = x^2- 2x.$ Решим соответствующее уравнение и найдем нуль дискриминанта:

$$x^2- 2x = a- x \Leftrightarrow x^2- x- a = 0$$

Дискриминант $D_1 = 1 + 4a,$ он равен нулю при $a = -\dfrac{1}{4},$ откуда $x = \dfrac{1}{2},$ $y = -\dfrac{3}{4}.$

Аналогично найдем такие $a,$ при которых прямая $y = a- x$ является касательной к графику $y = -(x^2- 2x){:}$

$$ -(x^2- 2x) = a- x \Leftrightarrow x^2- 3x + a = 0$$

Дискриминант $D_2 = 9- 4a,$ он равен нулю при $a = \dfrac{9}{4},$ откуда $x = \dfrac{3}{2},$ $y = \dfrac{3}{4}.$

Если $a < -\dfrac{1}{4},$ то у прямой $y = a- x$ нет общих точек с графиком $y = x^2- 2x,$ а с графиком $y = -(x^2- 2x)$ — две общие точки.

Если $a = -\dfrac{1}{4},$ то у прямой $y = a- x$ одна общая точка $\left( \dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{4} \right)$ с графиком $y = x^2- 2x,$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y = -(x^2- 2x),$ значит, будет $3$ общих точки.

Если $-\dfrac{1}{4} < a < \dfrac{9}{4},$ то прямая $y = a- x$ пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках $(0; 0)$ и $(2; 0),$ поэтому будет минимум 3 решения.

Если $a = \dfrac{9}{4},$ то у прямой $y = a- x$ одна общая точка $\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{3}{4} \right)$ с графиком $y = -(x^2- 2x),$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y = x^2- 2x,$ значит, будет $3$ общих точки.

Если $a > \dfrac{9}{4},$ то у прямой $y = a- x$ нет общих точек с графиком $y = -(x^2- 2x),$ а с графиком $y = x^2- 2x$ — две общие точки.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при $a \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{9}{4}; +\infty\right).$

Ответ: $\left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{9}{4}; +\infty\right).$