Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
19. Задача с параметром: #212242
Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (|x+1| + |x-3|- y) \cdot \sqrt{10- x- y} = 0 \\ y = x + a\end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
Графиком первого уравнения является объединение прямой $y = 10- x$ и части графика $y = |x+1| + |x-3|,$ лежащей ниже этой прямой (выделено оранжевым). При $x \leq -1$ это отрезок $AD$ прямой $y = -2x + 2,$ где $A(-1; 4)$ — точка прямой с абсциссой $-1,$ а $D(-8; 18)$ — точка ее пересечения с $y = 10- x.$ При $-1 \leq x \leq 3$ функция имеет вид $y = 4,$ ее график — это отрезок $AB,$ где $B(3; 4)$ — точка прямой с абсциссой $3.$ При $x \geq 3$ это отрезок $BC$ прямой $y = 2x- 2,$ где $C(4; 6)$ — точка ее пересечения с $y = 10- x.$
Графиком второго уравнения является некоторая прямая, параллельная прямой $y = x.$
Исследуя взаимное расположение графиков уравнений, получаем, что ровно два решения система имеет в тех и только тех случаях, когда прямая $y = x + a$ проходит через точку $B$ $($это соответствует значению $a = 1)$ и когда она лежит между прямыми, проходящими через точку $C$ (включая) и точку $D$ (исключая). Через точку $C$ прямая проходит при $a = 2,$ а через точку $D$ — при $a = 26.$ Откуда и следует ответ.
Ответ: $\{1\}\cup[2;26)$.
20
