ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: механика и баллистика

Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2>0$. Амплитуда максимальна, когда подкоренное выражение $h(\tau)$ минимально. $A(\tau)=\frac{k}{\sqrt{h(\tau)}}$, где $$h(\tau)=\frac{(T^2-\tau^2)^2+nT^2\tau^2}{\tau^4}=\frac{T^4}{\tau^4}-\frac{(2-n)T^2}{\tau^2}+1.$$ $$(2-n)T^2=1{,}125 \cdot 144=162, T^4=20,736$$ $$h(\tau)=\frac{20,736}{\tau^4}-\frac{162}{\tau^2}+1.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную $h(\tau)$ и приведём её к общему знаменателю. Знаменатель $\tau^5>0$, поэтому знак производной определяется числителем. $$h'(\tau)=-\frac{4 \cdot 20,736}{\tau^5}+\frac{2 \cdot 162}{\tau^3}=\frac{324\tau^2-82,944}{\tau^5}=\frac{324(\tau^2-256)}{\tau^5}$$

В точке $\tau=16$ функция $h$ имеет минимум, значит амплитуда $A$ — максимум.

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Сделаем замену $u=\frac{T^2}{\tau^2}=\frac{144}{\tau^2}$, $u>0$. Тогда $h$ становится квадратичной функцией от $u$, и её минимум достигается в вершине параболы. $$h=(u-1)^2+nu=u^2-(2-n)u+1=u^2-1{,}125u+1$$ $$u_0=\frac{1{,}125}{2}=0{,}5625$$ $$\frac{144}{\tau^2}=0{,}5625 \Rightarrow \tau^2=\frac{144}{0{,}5625}=256 \Rightarrow \tau=16.$$

Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2$: амплитуда максимальна, когда минимально выражение $h(\tau)$. $$(2-n)T^2=0{,}5 \cdot 36=18$, $T^4=1296$$ $$h(\tau)=\frac{1296}{\tau^4}-\frac{18}{\tau^2}+1.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и определим её знак; знаменатель $\tau^5>0$. $$h'(\tau)=-\frac{4 \cdot 1296}{\tau^5}+\frac{2 \cdot 18}{\tau^3}=\frac{36\tau^2-5184}{\tau^5}=\frac{36(\tau^2-144)}{\tau^5}$$ $$h'(\tau)=0 \Rightarrow \tau^2=144 \Rightarrow \tau=12.$$

Минимум $h$ в точке $\tau=12$ означает максимум амплитуды.

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Замена $u=\frac{36}{\tau^2}$, $u>0$, превращает $h$ в квадратичную функцию. Её минимум — в вершине параболы. $$h=(u-1)^2+1{,}5u=u^2-0{,}5u+1$$ $$u_0=\frac{0{,}5}{2}=0{,}25$$ $$\frac{36}{\tau^2}=0{,}25 \Rightarrow \tau^2=144 \Rightarrow \tau=12.$$

Подставим данные и исследуем функцию на интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$ с помощью производной. $$R(\alpha)=\frac{64\sin 2\alpha}{1{,}6}=40\sin 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=80\cos 2\alpha$$ $$R'(\alpha)=0 \Rightarrow 2\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=45^\circ.$$

$$R(45^\circ)=40\sin 90^\circ=40.$$

Подставим данные в формулу. $$y(\alpha)=20,\mathrm{tg},\alpha-\frac{10 \cdot 400}{2 \cdot 400\cos^2\alpha}=20,\mathrm{tg},\alpha-\frac{5}{\cos^2\alpha}.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную, используя $$(\mathrm{tg},\alpha)’=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$ $$\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)’=\frac{2\sin\alpha}{\cos^3\alpha}.$$ На интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$ множитель $\frac{10}{\cos^3\alpha}>0$ $$y'(\alpha)=\frac{20}{\cos^2\alpha}-\frac{10\sin\alpha}{\cos^3\alpha}=\frac{10}{\cos^3\alpha}(2\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{10}{\cos^2\alpha}(2-\mathrm{tg},\alpha)$$ $y'(\alpha)=0 \Rightarrow \mathrm{tg},\alpha=2,$ обозначим $\alpha_0=\mathrm{arctg},2$

Используя $\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha$: $$y(\alpha_0)=20 \cdot 2-5(1+2^2)=40-25=15.$$

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Заменим $\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha$ и введём $p=\mathrm{tg},\alpha$, $p>0$. Получим квадратичную функцию с отрицательным старшим коэффициентом, её максимум — в вершине. $$y=20p-5(1+p^2)=-5p^2+20p-5$$ $$p_0=-\frac{20}{2 \cdot (-5)}=2$$ $$y(2)=-5 \cdot 4+20 \cdot 2-5=15.$$

Раскроем скобки под корнем, затем найдём производную как производную сложной функции. Знаменатель производной положителен, поэтому её знак определяется числителем. $$d(t)=\sqrt{2500-3000t+900t^2+1600t^2}=\sqrt{2500t^2-3000t+2500}$$ $$d'(t)=\frac{5000t-3000}{2\sqrt{2500t^2-3000t+2500}}$$ $$d'(t)=0 \Rightarrow t=0{,}6$$

$$d(0{,}6)=\sqrt{2500 \cdot 0{,}36-3000 \cdot 0{,}6+2500}=\sqrt{900-1800+2500}=\sqrt{1600}=40.$$

Способ 1 (через производную). Найдём производную и разложим её на множители. Знаки определим методом интервалов на всей числовой прямой. $$U'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$$ $$U'(x)=0 \Rightarrow x=-2, x=0, x=2.$$

Точки минимума $x=\pm 2$, значения в них одинаковые: $U(\pm 2)=16-32+20=4$.

Способ 2 (через замену и вершину параболы). Функция зависит только от $x^2$, поэтому сделаем замену $u=x^2$, $u \geq 0$. Минимум квадратичной функции достигается в вершине, если она попадает в область $u \geq 0$. $$U=u^2-8u+20$$ $$u_0=\frac{8}{2}=4 \geq 0$$ $$U(4)=16-32+20=4.$$

Скорость — это производная координаты по времени. Чтобы найти наибольшую скорость, исследуем функцию $v(t)$ с помощью её производной (ускорения). $$v(t)=x'(t)=-3t^2+12t+15$$ $$v'(t)=-6t+12$$ $$v'(t)=0 \Rightarrow t=2.$$

$v(2)=-3 \cdot 4+12 \cdot 2+15=-12+24+15=27$.

Числитель постоянен, поэтому сила минимальна, когда знаменатель $f(\alpha)=\cos\alpha+0{,}75\sin\alpha$ максимален. Исследуем $f(\alpha)$ с помощью производной; на интервале $\cos\alpha>0$. $$f'(\alpha)=-\sin\alpha+0{,}75\cos\alpha=\cos\alpha(0{,}75-\mathrm{tg},\alpha)$$ $f'(\alpha)=0 \Rightarrow \mathrm{tg},\alpha=0{,}75$, обозначим $\alpha_0=\mathrm{arctg},0{,}75.$

При $\mathrm{tg},\alpha_0=0{,}75=\frac{3}{4}$ имеем $\cos\alpha_0=0{,}8$, $\sin\alpha_0=0{,}6$: $$f(\alpha_0)=0{,}8+0{,}75 \cdot 0{,}6=0{,}8+0{,}45=1{,}25$$ $$F_{\min}=\frac{0{,}75 \cdot 100}{1{,}25}=\frac{75}{1{,}25}=60.$$

Угол $45^\circ$, дающий максимум без ограничений, не входит в промежуток $[0^\circ;15^\circ]$, поэтому ищем наибольшее значение на этом отрезке. Производная на нём положительна, функция возрастает, значит максимум — на правом конце. $$R(\alpha)=\frac{900\sin 2\alpha}{10}=90\sin 2\alpha$$ $R'(\alpha)=180\cos 2\alpha>0$ при $0^\circ \leq \alpha \leq 15^\circ$, так как $2\alpha \leq 30^\circ$. $$R(15^\circ)=90\sin 30^\circ=90 \cdot 0{,}5=45.$$

Выразим мощность как функцию скорости и найдём её производную. Точку максимума определим по смене знака производной. $$P(v)=(3000-50v)v=3000v-50v^2$$ $$P'(v)=3000-100v$$ $$P'(v)=0 \Rightarrow v=30.$$

$P(30)=3000 \cdot 30-50 \cdot 900=90,000-45,000=45,000$ Вт $=45$ кВт.