Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333001
Испытательный стенд создаёт вынуждающие колебания рамы автомобиля, проверяя работу амортизаторов. Амплитуда вынужденных колебаний рамы (в условных единицах) выражается формулой $A(\tau)=\frac{k\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+nT^2\tau^2}}$, где $\tau$ — период колебаний, задаваемых стендом (в секундах), $T=12$ с — период собственных колебаний рамы, $n=0{,}875$ — коэффициент, зависящий от жёсткости подвески, $k$ — постоянный коэффициент. При каком периоде $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2>0$. Амплитуда максимальна, когда подкоренное выражение $h(\tau)$ минимально. $A(\tau)=\frac{k}{\sqrt{h(\tau)}}$, где $$h(\tau)=\frac{(T^2-\tau^2)^2+nT^2\tau^2}{\tau^4}=\frac{T^4}{\tau^4}-\frac{(2-n)T^2}{\tau^2}+1.$$ $$(2-n)T^2=1{,}125 \cdot 144=162, T^4=20,736$$ $$h(\tau)=\frac{20,736}{\tau^4}-\frac{162}{\tau^2}+1.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную $h(\tau)$ и приведём её к общему знаменателю. Знаменатель $\tau^5>0$, поэтому знак производной определяется числителем. $$h'(\tau)=-\frac{4 \cdot 20,736}{\tau^5}+\frac{2 \cdot 162}{\tau^3}=\frac{324\tau^2-82,944}{\tau^5}=\frac{324(\tau^2-256)}{\tau^5}$$
В точке $\tau=16$ функция $h$ имеет минимум, значит амплитуда $A$ — максимум.
Способ 2 (через замену и вершину параболы). Сделаем замену $u=\frac{T^2}{\tau^2}=\frac{144}{\tau^2}$, $u>0$. Тогда $h$ становится квадратичной функцией от $u$, и её минимум достигается в вершине параболы. $$h=(u-1)^2+nu=u^2-(2-n)u+1=u^2-1{,}125u+1$$ $$u_0=\frac{1{,}125}{2}=0{,}5625$$ $$\frac{144}{\tau^2}=0{,}5625 \Rightarrow \tau^2=\frac{144}{0{,}5625}=256 \Rightarrow \tau=16.$$
20
