Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333002
Амплитуда вынужденных колебаний измерительного прибора выражается формулой $A(\tau)=\frac{k\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+nT^2\tau^2}}$, где $T=6$ с — период собственных колебаний прибора, $n=1{,}5$, $k$ — постоянный коэффициент. При каком периоде вынуждающей силы $\tau$ амплитуда колебаний будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2$: амплитуда максимальна, когда минимально выражение $h(\tau)$. $$(2-n)T^2=0{,}5 \cdot 36=18$, $T^4=1296$$ $$h(\tau)=\frac{1296}{\tau^4}-\frac{18}{\tau^2}+1.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную и определим её знак; знаменатель $\tau^5>0$. $$h'(\tau)=-\frac{4 \cdot 1296}{\tau^5}+\frac{2 \cdot 18}{\tau^3}=\frac{36\tau^2-5184}{\tau^5}=\frac{36(\tau^2-144)}{\tau^5}$$ $$h'(\tau)=0 \Rightarrow \tau^2=144 \Rightarrow \tau=12.$$
Минимум $h$ в точке $\tau=12$ означает максимум амплитуды.
Способ 2 (через замену и вершину параболы). Замена $u=\frac{36}{\tau^2}$, $u>0$, превращает $h$ в квадратичную функцию. Её минимум — в вершине параболы. $$h=(u-1)^2+1{,}5u=u^2-0{,}5u+1$$ $$u_0=\frac{0{,}5}{2}=0{,}25$$ $$\frac{36}{\tau^2}=0{,}25 \Rightarrow \tau^2=144 \Rightarrow \tau=12.$$
20
