Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333058
Мяч бросают с начальной скоростью $v_0=20$ м/с под углом $\alpha$ к горизонту в сторону вертикальной стены, находящейся на расстоянии $x=20$ м. Высота (в метрах), на которой мяч ударится о стену, вычисляется по формуле $y(\alpha)=x,\mathrm{tg},\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$, где $g=10$ м/с². Найдите наибольшую высоту, на которой мяч может удариться о стену. Ответ дайте в метрах.
Подставим данные в формулу. $$y(\alpha)=20,\mathrm{tg},\alpha-\frac{10 \cdot 400}{2 \cdot 400\cos^2\alpha}=20,\mathrm{tg},\alpha-\frac{5}{\cos^2\alpha}.$$
Способ 1 (через производную). Найдём производную, используя $$(\mathrm{tg},\alpha)’=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$ $$\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)’=\frac{2\sin\alpha}{\cos^3\alpha}.$$ На интервале $0^\circ<\alpha<90^\circ$ множитель $\frac{10}{\cos^3\alpha}>0$ $$y'(\alpha)=\frac{20}{\cos^2\alpha}-\frac{10\sin\alpha}{\cos^3\alpha}=\frac{10}{\cos^3\alpha}(2\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{10}{\cos^2\alpha}(2-\mathrm{tg},\alpha)$$ $y'(\alpha)=0 \Rightarrow \mathrm{tg},\alpha=2,$ обозначим $\alpha_0=\mathrm{arctg},2$
Используя $\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha$: $$y(\alpha_0)=20 \cdot 2-5(1+2^2)=40-25=15.$$
Способ 2 (через замену и вершину параболы). Заменим $\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\mathrm{tg}^2\alpha$ и введём $p=\mathrm{tg},\alpha$, $p>0$. Получим квадратичную функцию с отрицательным старшим коэффициентом, её максимум — в вершине. $$y=20p-5(1+p^2)=-5p^2+20p-5$$ $$p_0=-\frac{20}{2 \cdot (-5)}=2$$ $$y(2)=-5 \cdot 4+20 \cdot 2-5=15.$$
20
