Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333156
Брусок равномерно перемещают по горизонтальной поверхности, прикладывая силу под углом $\alpha$ к горизонту. Модуль этой силы (в ньютонах) равен $F(\alpha)=\frac{\mu mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}$, где $mg=100$ Н, $\mu=0{,}75$ — коэффициент трения, $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Найдите наименьшую силу, необходимую для равномерного перемещения бруска. Ответ дайте в ньютонах.
Числитель постоянен, поэтому сила минимальна, когда знаменатель $f(\alpha)=\cos\alpha+0{,}75\sin\alpha$ максимален. Исследуем $f(\alpha)$ с помощью производной; на интервале $\cos\alpha>0$. $$f'(\alpha)=-\sin\alpha+0{,}75\cos\alpha=\cos\alpha(0{,}75-\mathrm{tg},\alpha)$$ $f'(\alpha)=0 \Rightarrow \mathrm{tg},\alpha=0{,}75$, обозначим $\alpha_0=\mathrm{arctg},0{,}75.$
При $\mathrm{tg},\alpha_0=0{,}75=\frac{3}{4}$ имеем $\cos\alpha_0=0{,}8$, $\sin\alpha_0=0{,}6$: $$f(\alpha_0)=0{,}8+0{,}75 \cdot 0{,}6=0{,}8+0{,}45=1{,}25$$ $$F_{\min}=\frac{0{,}75 \cdot 100}{1{,}25}=\frac{75}{1{,}25}=60.$$
20
