Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #333111
Потенциальная энергия частицы (в джоулях) в силовом поле зависит от её координаты $x$ (в метрах) по закону $U(x)=x^4-8x^2+20$. В положении устойчивого равновесия потенциальная энергия минимальна. Найдите наименьшее значение потенциальной энергии частицы. Ответ дайте в джоулях.
Способ 1 (через производную). Найдём производную и разложим её на множители. Знаки определим методом интервалов на всей числовой прямой. $$U'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$$ $$U'(x)=0 \Rightarrow x=-2, x=0, x=2.$$
Точки минимума $x=\pm 2$, значения в них одинаковые: $U(\pm 2)=16-32+20=4$.
Способ 2 (через замену и вершину параболы). Функция зависит только от $x^2$, поэтому сделаем замену $u=x^2$, $u \geq 0$. Минимум квадратичной функции достигается в вершине, если она попадает в область $u \geq 0$. $$U=u^2-8u+20$$ $$u_0=\frac{8}{2}=4 \geq 0$$ $$U(4)=16-32+20=4.$$
20
