ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 17. Математические модели: электродинамика

Подставим закон Ома в формулу мощности, чтобы получить зависимость $P$ только от одной переменной $R$. По смыслу задачи $R>0$. $$P(R)=\left(\frac{\varepsilon}{r+R}\right)^2 \cdot R=\frac{\varepsilon^2 R}{(r+R)^2}=\frac{3600R}{(2+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную).

Шаг $1$. Найдём производную. Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$, где $u=3600R$, $v=(2+R)^2$, $v’=2(2+R)$. $$P'(R)=\frac{3600 \cdot (2+R)^2-3600R \cdot 2(2+R)}{(2+R)^4}.$$

Вынесем общий множитель $3600(2+R)$ в числителе и сократим на $(2+R)$: $$P'(R)=\frac{3600(2+R)(2+R-2R)}{(2+R)^4}=\frac{3600(2-R)}{(2+R)^3}.$$

Шаг $2$. Найдём критические точки. Знаменатель $(2+R)^3>0$ при $R>0$, поэтому производная обращается в ноль только когда равен нулю числитель. $$3600(2-R)=0 \Rightarrow R=2.$$

Шаг $3$. Определим знак производной. Знак $P'(R)$ совпадает со знаком $2-R$: при $0<R<2$ имеем $P'(R)>0$ (мощность растёт), при $R>2$ имеем $P'(R)<0$ (мощность убывает). Значит, $R=2$ — точка максимума, и на промежутке $(0;+\infty)$ это наибольшее значение функции.

Шаг $4$. Вычислим наибольшую мощность. $$P(2)=\frac{3600 \cdot 2}{(2+2)^2}=\frac{7200}{16}=450.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Неравенство о средних даёт решение в $2$–$3$ строки, но работает только тогда, когда функцию удаётся привести к виду «сумма двух положительных слагаемых с постоянным произведением».

Шаг $1$. Преобразуем функцию. Разделим числитель и знаменатель на $R>0$, чтобы переменная осталась только в знаменателе. Тогда $P$ максимальна, когда знаменатель минимален. $$P(R)=\frac{3600R}{(2+R)^2}=\frac{3600R}{4+4R+R^2}=\frac{3600}{\frac{4}{R}+4+R}.$$

Шаг $2$. Оценим знаменатель. Для положительных чисел $a$ и $b$ верно неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом $a+b \geq 2\sqrt{ab}$, причём равенство достигается только при $a=b$. Применим его к числам $R$ и $\frac{4}{R}$: их произведение постоянно, поэтому сумма ограничена снизу. $$R+\frac{4}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{4}{R}}=2\sqrt{4}=4.$$

Значит, знаменатель не меньше $4+4=8$: $R+4+\frac{4}{R} \geq 8$.

Шаг $3$. Оценим мощность. Чем меньше знаменатель, тем больше дробь, поэтому: $$P(R)=\frac{3600}{R+4+\frac{4}{R}} \leq \frac{3600}{8}=450.$$

Шаг $4$. Найдём, когда достигается равенство. Равенство в неравенстве о средних достигается при $R=\frac{4}{R}$, то есть при $R^2=4$. С учётом $R>0$ получаем:
$R=2$. $$P(2)=\frac{3600 \cdot 2}{(2+2)^2}=\frac{7200}{16}=450$$ $$P_{\max}=450 Вт.$$

Физический смысл результата: мощность на внешней нагрузке максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ($R=r$).

Подставим закон Ома в формулу мощности, по смыслу задачи $R>0$. $$P(R)=\frac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}=\frac{576R}{(3+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и выносим общий множитель $(3+R)$ в числителе. $$P'(R)=\frac{576(3+R)^2-576R \cdot 2(3+R)}{(3+R)^4}=\frac{576(3-R)}{(3+R)^3}.$$

Знаменатель положителен, знак $P'(R)$ совпадает со знаком $3-R$: при $0<R<3$ функция возрастает, при $R>3$ убывает, значит $R=3$ — точка максимума. $$P(3)=\frac{576 \cdot 3}{36}=48.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$, тогда мощность максимальна, когда знаменатель минимален. Слагаемые $R$ и $\frac{9}{R}$ положительны, а их произведение постоянно. $$P(R)=\frac{576}{R+6+\frac{9}{R}}$$ $$R+\frac{9}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{9}{R}}=6 \Rightarrow R+6+\frac{9}{R} \geq 12$$ $$P(R) \leq \frac{576}{12}=48.$$ Равенство достигается при $R=\frac{9}{R}$, то есть $R=3$..

Сопротивления $r$ и $R_0$ соединены последовательно с реостатом, поэтому они складываются: $r+R_0=5$. $$P(R)=\frac{10,000R}{(5+R)^2}, R>0.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и упрощаем. $$P'(R)=\frac{10,000(5+R)^2-10,000R \cdot 2(5+R)}{(5+R)^4}=\frac{10,000(5-R)}{(5+R)^3}.$$ При $0<R<5$ имеем $P'(R)>0$, при $R>5$ имеем $P'(R)<0$, значит $R=5$ — точка максимума.

Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$ и оценим сумму $R+\frac{25}{R}$, у которой произведение слагаемых постоянно. $$P(R)=\frac{10,000}{R+10+\frac{25}{R}}$$ $$R+\frac{25}{R} \geq 2\sqrt{25}=10.$$

Знаменатель минимален, а мощность максимальна, когда достигается равенство: $R=\frac{25}{R}$, то есть $R=5$.

Найдём напряжение на параллельном участке, а затем выразим мощность через $R$. $$R_{\text{п}}=\frac{6R}{6+R}$$ $$U=\frac{\varepsilon R_{\text{п}}}{r+R_{\text{п}}}=\frac{36 \cdot \frac{6R}{6+R}}{2+\frac{6R}{6+R}}=\frac{216R}{2(6+R)+6R}=\frac{216R}{12+8R}=\frac{54R}{3+2R}$$ $$P(R)=\frac{U^2}{R}=\frac{2916R}{(3+2R)^2}, R>0.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного, учитывая, что $((3+2R)^2)’=4(3+2R)$. $$P'(R)=\frac{2916(3+2R)^2-2916R \cdot 4(3+2R)}{(3+2R)^4}=\frac{2916(3-2R)}{(3+2R)^3}.$$

При $0<R<1{,}5$ имеем $P'(R)>0$, при $R>1{,}5$ имеем $P'(R)<0$, значит $R=1{,}5$ — точка максимума. $$P(1{,}5)=\frac{2916 \cdot 1{,}5}{(3+3)^2}=\frac{4374}{36}=121{,}5.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Раскроем квадрат в знаменателе и разделим на $R$. Произведение слагаемых $4R$ и $\frac{9}{R}$ постоянно. $$P(R)=\frac{2916R}{9+12R+4R^2}=\frac{2916}{4R+12+\frac{9}{R}}$$ $$4R+\frac{9}{R} \geq 2\sqrt{4R \cdot \frac{9}{R}}=2\sqrt{36}=12 \Rightarrow 4R+12+\frac{9}{R} \geq 24$$ $$P(R) \leq \frac{2916}{24}=121{,}5.$$

Равенство при $4R=\frac{9}{R}$, то есть $R=1{,}5$.

Подставим закон Ома в формулу мощности, $R>0$. $$P(R)=\frac{900R}{(5+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и исследуем её знак. $$P'(R)=\frac{900(5+R)^2-900R \cdot 2(5+R)}{(5+R)^4}=\frac{900(5-R)}{(5+R)^3}.$$

При $0<R<5$ функция возрастает, при $R>5$ убывает, значит $R=5$ — точка максимума. Найдём силу тока при этом сопротивлении. $$I=\frac{30}{5+5}=3.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$ и применим неравенство о средних к слагаемым $R$ и $\frac{25}{R}$. $$P(R)=\frac{900}{R+10+\frac{25}{R}}$$ $$R+\frac{25}{R} \geq 2\sqrt{25}=10.$$

Равенство при $R=\frac{25}{R}$, то есть $R=5$, тогда $I=\frac{30}{10}=3$.

$R$ меняется на отрезке $[4;10]$. Неравенство о средних даёт $R=r=2$, но эта точка не входит в отрезок, поэтому исследуем функцию на отрезке с помощью производной. $$P(R)=\frac{144R}{(2+R)^2}$$ $$P'(R)=\frac{144(2+R)^2-144R \cdot 2(2+R)}{(2+R)^4}=\frac{144(2-R)}{(2+R)^3}.$$

На отрезке $[4;10]$ имеем $2-R<0$, поэтому $P'(R)<0$ и функция убывает. Наибольшее значение достигается на левом конце отрезка. $$P(4)=\frac{144 \cdot 4}{(2+4)^2}=\frac{576}{36}=16.$$

Запишем мощность как функцию времени и найдём её производную по правилу производной сложной функции. Точки, в которых производная равна нулю, исследуем на отрезке $[0;6]$. $$P(t)=2(6t-t^2)^2$$ $$P'(t)=2 \cdot 2(6t-t^2) \cdot (6-2t)=4(6t-t^2)(6-2t).$$

На интервале $(0;6)$ множитель $6t-t^2=t(6-t)>0$, поэтому знак $P'(t)$ совпадает со знаком $6-2t$. При $0<t<3$ функция возрастает, при $3<t<6$ убывает, значит $t=3$ — точка максимума. $$I(3)=6 \cdot 3-3^2=9$$ $$P(3)=2 \cdot 9^2=162.$$

Выразим мощность как функцию силы тока. Получится квадратичная функция, её максимум найдём с помощью производной; по смыслу задачи $0<I<\frac{\varepsilon}{r}=24$. $$P(I)=(\varepsilon-Ir)I=12I-0{,}5I^2$$ $$P'(I)=12-I$$ $$P'(I)=0 \Rightarrow I=12.$$

При $I<12$ имеем $P'(I)>0$, при $I>12$ имеем $P'(I)<0$, значит $I=12$ — точка максимума. $$P(12)=12 \cdot 12-0{,}5 \cdot 144=144-72=72.$$

Подставим $a^2=2$ и найдём производную по правилу частного, используя $$\left((x^2+2)^{\frac{3}{2}}\right)’=\frac{3}{2}(x^2+2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x=3x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}.$$ По смыслу задачи $x>0$. $$E(x)=\frac{54\sqrt{3},x}{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}}.$$ $$E'(x)=54\sqrt{3} \cdot \frac{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}-x \cdot 3x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+2)^3}=54\sqrt{3} \cdot \frac{(x^2+2)^{\frac{1}{2}}(x^2+2-3x^2)}{(x^2+2)^3}=\frac{54\sqrt{3}(2-2x^2)}{(x^2+2)^{\frac{5}{2}}}.$$ Знак $E'(x)$ совпадает со знаком $2-2x^2$: при $0<x<1$ функция возрастает, при $x>1$ убывает, значит $x=1$ — точка максимума. $$E(1)=\frac{54\sqrt{3} \cdot 1}{(1+2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{54\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=18.$$

Сначала найдём закон изменения силы тока как производную заряда. Затем исследуем функцию $I(t)$ на максимум с помощью её производной. $$I(t)=q'(t)=18t-3t^2$$ $$I'(t)=18-6t$$ $$I'(t)=0 \Rightarrow t=3.$$

При $0<t<3$ имеем $I'(t)>0$, при $3<t<9$ имеем $I'(t)<0$, значит $t=3$ — точка максимума. $$I(3)=18 \cdot 3-3 \cdot 3^2=54-27=27.$$