Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332955
Аккумулятор с ЭДС $\varepsilon=24$ В и внутренним сопротивлением $r=3$ Ом подключён к реостату сопротивлением $R$ (в омах). Сила тока в цепи определяется законом Ома: $I=\frac{\varepsilon}{r+R}$. Мощность (в ваттах), выделяемая на реостате, находится по формуле $P=I^2R$. Найдите наибольшую мощность, которая может выделяться на реостате. Ответ дайте в ваттах.
Подставим закон Ома в формулу мощности, по смыслу задачи $R>0$. $$P(R)=\frac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}=\frac{576R}{(3+R)^2}.$$
Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и выносим общий множитель $(3+R)$ в числителе. $$P'(R)=\frac{576(3+R)^2-576R \cdot 2(3+R)}{(3+R)^4}=\frac{576(3-R)}{(3+R)^3}.$$
Знаменатель положителен, знак $P'(R)$ совпадает со знаком $3-R$: при $0<R<3$ функция возрастает, при $R>3$ убывает, значит $R=3$ — точка максимума. $$P(3)=\frac{576 \cdot 3}{36}=48.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$, тогда мощность максимальна, когда знаменатель минимален. Слагаемые $R$ и $\frac{9}{R}$ положительны, а их произведение постоянно. $$P(R)=\frac{576}{R+6+\frac{9}{R}}$$ $$R+\frac{9}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{9}{R}}=6 \Rightarrow R+6+\frac{9}{R} \geq 12$$ $$P(R) \leq \frac{576}{12}=48.$$ Равенство достигается при $R=\frac{9}{R}$, то есть $R=3$..
20
