Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332954
Генератор с ЭДС $\varepsilon=100$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом питает цепь, в которой последовательно соединены постоянный резистор сопротивлением $R_0=4$ Ом и реостат сопротивлением $R$ (в омах). Сила тока в цепи $I=\frac{\varepsilon}{r+R_0+R}$, мощность на реостате $P=I^2R$. При каком сопротивлении реостата мощность на нём будет наибольшей? Ответ дайте в омах.
Сопротивления $r$ и $R_0$ соединены последовательно с реостатом, поэтому они складываются: $r+R_0=5$. $$P(R)=\frac{10,000R}{(5+R)^2}, R>0.$$
Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и упрощаем. $$P'(R)=\frac{10,000(5+R)^2-10,000R \cdot 2(5+R)}{(5+R)^4}=\frac{10,000(5-R)}{(5+R)^3}.$$ При $0<R<5$ имеем $P'(R)>0$, при $R>5$ имеем $P'(R)<0$, значит $R=5$ — точка максимума.
Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$ и оценим сумму $R+\frac{25}{R}$, у которой произведение слагаемых постоянно. $$P(R)=\frac{10,000}{R+10+\frac{25}{R}}$$ $$R+\frac{25}{R} \geq 2\sqrt{25}=10.$$
Знаменатель минимален, а мощность максимальна, когда достигается равенство: $R=\frac{25}{R}$, то есть $R=5$.
20
