Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332960
Источник тока с ЭДС $\varepsilon=36$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом подключён к участку цепи, состоящему из параллельно соединённых резистора сопротивлением $R_1=6$ Ом и реостата сопротивлением $R$ (в омах). Сопротивление параллельного участка $R_{\text{п}}=\frac{R_1R}{R_1+R}$, сила тока в цепи $I=\frac{\varepsilon}{r+R_{\text{п}}}$, напряжение на участке $U=IR_{\text{п}}$, мощность на реостате $P=\frac{U^2}{R}$. Найдите наибольшую мощность, которая может выделяться на реостате. Ответ дайте в ваттах.
Найдём напряжение на параллельном участке, а затем выразим мощность через $R$. $$R_{\text{п}}=\frac{6R}{6+R}$$ $$U=\frac{\varepsilon R_{\text{п}}}{r+R_{\text{п}}}=\frac{36 \cdot \frac{6R}{6+R}}{2+\frac{6R}{6+R}}=\frac{216R}{2(6+R)+6R}=\frac{216R}{12+8R}=\frac{54R}{3+2R}$$ $$P(R)=\frac{U^2}{R}=\frac{2916R}{(3+2R)^2}, R>0.$$
Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного, учитывая, что $((3+2R)^2)’=4(3+2R)$. $$P'(R)=\frac{2916(3+2R)^2-2916R \cdot 4(3+2R)}{(3+2R)^4}=\frac{2916(3-2R)}{(3+2R)^3}.$$
При $0<R<1{,}5$ имеем $P'(R)>0$, при $R>1{,}5$ имеем $P'(R)<0$, значит $R=1{,}5$ — точка максимума. $$P(1{,}5)=\frac{2916 \cdot 1{,}5}{(3+3)^2}=\frac{4374}{36}=121{,}5.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Раскроем квадрат в знаменателе и разделим на $R$. Произведение слагаемых $4R$ и $\frac{9}{R}$ постоянно. $$P(R)=\frac{2916R}{9+12R+4R^2}=\frac{2916}{4R+12+\frac{9}{R}}$$ $$4R+\frac{9}{R} \geq 2\sqrt{4R \cdot \frac{9}{R}}=2\sqrt{36}=12 \Rightarrow 4R+12+\frac{9}{R} \geq 24$$ $$P(R) \leq \frac{2916}{24}=121{,}5.$$
Равенство при $4R=\frac{9}{R}$, то есть $R=1{,}5$.
20
