Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332957
Источник тока с ЭДС $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=5$ Ом замкнут на реостат сопротивлением $R$ (в омах). Сила тока $I=\frac{\varepsilon}{r+R}$, мощность на реостате $P=I^2R$. Сопротивление реостата подобрали так, что мощность на нём стала наибольшей. Найдите силу тока в цепи в этом случае. Ответ дайте в амперах.
Подставим закон Ома в формулу мощности, $R>0$. $$P(R)=\frac{900R}{(5+R)^2}.$$
Способ 1 (через производную). Находим производную по правилу частного и исследуем её знак. $$P'(R)=\frac{900(5+R)^2-900R \cdot 2(5+R)}{(5+R)^4}=\frac{900(5-R)}{(5+R)^3}.$$
При $0<R<5$ функция возрастает, при $R>5$ убывает, значит $R=5$ — точка максимума. Найдём силу тока при этом сопротивлении. $$I=\frac{30}{5+5}=3.$$
Способ 2 (через неравенство о средних). Разделим числитель и знаменатель на $R$ и применим неравенство о средних к слагаемым $R$ и $\frac{25}{R}$. $$P(R)=\frac{900}{R+10+\frac{25}{R}}$$ $$R+\frac{25}{R} \geq 2\sqrt{25}=10.$$
Равенство при $R=\frac{25}{R}$, то есть $R=5$, тогда $I=\frac{30}{10}=3$.
20
