Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332962
Аккумулятор с ЭДС $\varepsilon=12$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом подключён к реостату, сопротивление которого можно менять в пределах от $4$ до $10$ Ом. Сила тока $I=\frac{\varepsilon}{r+R}$, мощность на реостате $P=I^2R$. Найдите наибольшую мощность, которая может выделяться на реостате. Ответ дайте в ваттах.
$R$ меняется на отрезке $[4;10]$. Неравенство о средних даёт $R=r=2$, но эта точка не входит в отрезок, поэтому исследуем функцию на отрезке с помощью производной. $$P(R)=\frac{144R}{(2+R)^2}$$ $$P'(R)=\frac{144(2+R)^2-144R \cdot 2(2+R)}{(2+R)^4}=\frac{144(2-R)}{(2+R)^3}.$$
На отрезке $[4;10]$ имеем $2-R<0$, поэтому $P'(R)<0$ и функция убывает. Наибольшее значение достигается на левом конце отрезка. $$P(4)=\frac{144 \cdot 4}{(2+4)^2}=\frac{576}{36}=16.$$
20
