Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332982
Сила тока (в амперах) через резистор сопротивлением $R=2$ Ом меняется со временем по закону $I(t)=6t-t^2$, где $t$ — время в секундах, $0 \leq t \leq 6$. Мощность, выделяемая на резисторе, $P=I^2R$. Найдите наибольшую мощность, выделяемую на резисторе. Ответ дайте в ваттах.
Запишем мощность как функцию времени и найдём её производную по правилу производной сложной функции. Точки, в которых производная равна нулю, исследуем на отрезке $[0;6]$. $$P(t)=2(6t-t^2)^2$$ $$P'(t)=2 \cdot 2(6t-t^2) \cdot (6-2t)=4(6t-t^2)(6-2t).$$
На интервале $(0;6)$ множитель $6t-t^2=t(6-t)>0$, поэтому знак $P'(t)$ совпадает со знаком $6-2t$. При $0<t<3$ функция возрастает, при $3<t<6$ убывает, значит $t=3$ — точка максимума. $$I(3)=6 \cdot 3-3^2=9$$ $$P(3)=2 \cdot 9^2=162.$$
20
