17. Математические модели: #332948

Подставим закон Ома в формулу мощности, чтобы получить зависимость $P$ только от одной переменной $R$. По смыслу задачи $R>0$. $$P(R)=\left(\frac{\varepsilon}{r+R}\right)^2 \cdot R=\frac{\varepsilon^2 R}{(r+R)^2}=\frac{3600R}{(2+R)^2}.$$

Способ 1 (через производную).

Шаг $1$. Найдём производную. Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$, где $u=3600R$, $v=(2+R)^2$, $v’=2(2+R)$. $$P'(R)=\frac{3600 \cdot (2+R)^2-3600R \cdot 2(2+R)}{(2+R)^4}.$$

Вынесем общий множитель $3600(2+R)$ в числителе и сократим на $(2+R)$: $$P'(R)=\frac{3600(2+R)(2+R-2R)}{(2+R)^4}=\frac{3600(2-R)}{(2+R)^3}.$$

Шаг $2$. Найдём критические точки. Знаменатель $(2+R)^3>0$ при $R>0$, поэтому производная обращается в ноль только когда равен нулю числитель. $$3600(2-R)=0 \Rightarrow R=2.$$

Шаг $3$. Определим знак производной. Знак $P'(R)$ совпадает со знаком $2-R$: при $0<R<2$ имеем $P'(R)>0$ (мощность растёт), при $R>2$ имеем $P'(R)<0$ (мощность убывает). Значит, $R=2$ — точка максимума, и на промежутке $(0;+\infty)$ это наибольшее значение функции.

Шаг $4$. Вычислим наибольшую мощность. $$P(2)=\frac{3600 \cdot 2}{(2+2)^2}=\frac{7200}{16}=450.$$

Способ 2 (через неравенство о средних). Неравенство о средних даёт решение в $2$–$3$ строки, но работает только тогда, когда функцию удаётся привести к виду «сумма двух положительных слагаемых с постоянным произведением».

Шаг $1$. Преобразуем функцию. Разделим числитель и знаменатель на $R>0$, чтобы переменная осталась только в знаменателе. Тогда $P$ максимальна, когда знаменатель минимален. $$P(R)=\frac{3600R}{(2+R)^2}=\frac{3600R}{4+4R+R^2}=\frac{3600}{\frac{4}{R}+4+R}.$$

Шаг $2$. Оценим знаменатель. Для положительных чисел $a$ и $b$ верно неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом $a+b \geq 2\sqrt{ab}$, причём равенство достигается только при $a=b$. Применим его к числам $R$ и $\frac{4}{R}$: их произведение постоянно, поэтому сумма ограничена снизу. $$R+\frac{4}{R} \geq 2\sqrt{R \cdot \frac{4}{R}}=2\sqrt{4}=4.$$

Значит, знаменатель не меньше $4+4=8$: $R+4+\frac{4}{R} \geq 8$.

Шаг $3$. Оценим мощность. Чем меньше знаменатель, тем больше дробь, поэтому: $$P(R)=\frac{3600}{R+4+\frac{4}{R}} \leq \frac{3600}{8}=450.$$

Шаг $4$. Найдём, когда достигается равенство. Равенство в неравенстве о средних достигается при $R=\frac{4}{R}$, то есть при $R^2=4$. С учётом $R>0$ получаем:
$R=2$. $$P(2)=\frac{3600 \cdot 2}{(2+2)^2}=\frac{7200}{16}=450$$ $$P_{\max}=450 Вт.$$

Физический смысл результата: мощность на внешней нагрузке максимальна, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ($R=r$).