Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
17. Математические модели: #332993
Напряжённость электрического поля (в В/м) на оси равномерно заряженного кольца радиусом $a=\sqrt{2}$ м на расстоянии $x$ метров от его центра определяется формулой $E(x)=\frac{kQx}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}$, где $kQ=54\sqrt{3}$ В·м. Найдите наибольшее значение напряжённости поля на оси кольца. Ответ дайте в В/м.
Подставим $a^2=2$ и найдём производную по правилу частного, используя $$\left((x^2+2)^{\frac{3}{2}}\right)’=\frac{3}{2}(x^2+2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x=3x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}.$$ По смыслу задачи $x>0$. $$E(x)=\frac{54\sqrt{3},x}{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}}.$$ $$E'(x)=54\sqrt{3} \cdot \frac{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}-x \cdot 3x(x^2+2)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+2)^3}=54\sqrt{3} \cdot \frac{(x^2+2)^{\frac{1}{2}}(x^2+2-3x^2)}{(x^2+2)^3}=\frac{54\sqrt{3}(2-2x^2)}{(x^2+2)^{\frac{5}{2}}}.$$ Знак $E'(x)$ совпадает со знаком $2-2x^2$: при $0<x<1$ функция возрастает, при $x>1$ убывает, значит $x=1$ — точка максимума. $$E(1)=\frac{54\sqrt{3} \cdot 1}{(1+2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{54\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=18.$$
20
