12. Наибольшее и наименьшее значение функций: исследование тригонометрических функций

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2x}-4$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{4}{\cos^2x}-4=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.

Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$

Найдем значение функции $y=4\tg{x}-4x-\pi+5$ в данной точке: $$y=4\tg\Big({-\frac{\pi}{4}}\Big)-4\cdot \Big( -\frac{\pi}{4}\Big)-\pi+5=1$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{12}{\cos^2x}-12$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{12}{\cos^2x}-12=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.

Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$

Найдем значение функции $y=12\tg{x}-12x-3\pi+18$ в данной точке: $$y=12\tg{\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)}-12\cdot \Big(-\frac{\pi}{4}\Big)-3\pi+18=6$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2\cos{x}-(2x-3)\sin{x}-2\cos{x}$$ $$f'(x)=-(2x-3)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(2x-3)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(2x-3)=0$$ $$x=1.5$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1.5;\frac{\pi}{2}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $1.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+3.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4\cos{x}-(4x-1)\sin{x}-4\cos{x}$$ $$f'(x)=-(4x-1)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(4x-1)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(4x-1)=0$$ $$x=0.25$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0.25$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(4x-1)\cos{x}-4\sin{x}+7.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=7\cos{x}-8$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$7\cos{x}-8=0$$ $$\cos{x}=\frac{8}{7}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.

Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$

Найдем значение функции $y=7 \sin{x}-8x+9$ в данной точке: $$y=7 \sin{0}-8 \cdot 0+9=9$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=48\cos{x}-101$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$48\cos{x}-101=0$$ $$\cos{x}=\frac{101}{48}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.

Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$

Найдем значение функции $y=48 \sin{x}-101x+60$ в данной точке: $$y=48 \sin{0}-101 \cdot 0+60=60$$

Найдем производную функции:
$$y = 12 \cos x + 6\sqrt{3}x- 2\sqrt{3}\pi + 6$$
$$y’ = -12 \sin x + 6\sqrt{3}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$-12 \sin x + 6\sqrt{3} = 0 \Rightarrow 12 \sin x = 6\sqrt{3} \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
На отрезке $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ уравнение $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решение:
$$x = \dfrac{\pi}{3}$$

Определим знак производной на интервалах:

При $0 \leq x < \dfrac{\pi}{3}{:}$ $\sin x < \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -12 \sin x > -6\sqrt{3} \Rightarrow y’ > 0$ (функция возрастает).

При $\dfrac{\pi}{3} < x \leq \dfrac{\pi}{2}{:}$ $\sin x > \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -12 \sin x < -6\sqrt{3} \Rightarrow y’ < 0$ (функция убывает). Таким образом, в точке $x = \dfrac{\pi}{3}$ функция имеет максимум.

Вычислим значение функции в точке максимума и на концах отрезка:

• В точке $x = \dfrac{\pi}{3}{:}$
  $$y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 12 \cos \dfrac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\pi}{3}- 2\sqrt{3}\pi + 6$$
  $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2},$ тогда:
  $$y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 12 \cdot \dfrac{1}{2} + 2\sqrt{3}\pi- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 6 + 6 = 12$$
• На левом конце $x = 0{:}$
  $$y(0) = 12 \cos 0 + 0- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12 \cdot 1- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 18- 2\sqrt{3}\pi$$
  Так как $\sqrt{3} \approx 1.73,$ $\pi \approx 3.14,$ то $2\sqrt{3}\pi \approx 10.86,$ значит, $y(0) \approx 7.14 < 12.$
• На правом конце $x = \dfrac{\pi}{2}{:}$
  $$y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 12 \cos \dfrac{\pi}{2} + 6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\pi}{2}- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 0 + 3\sqrt{3}\pi- 2\sqrt{3}\pi + 6 = \sqrt{3}\pi + 6$$
  $\sqrt{3}\pi \approx 5.44,$ значит, $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \approx 11.44 < 12.$

Наибольшее значение функции на отрезке равно $12.$

Найдем производную функции:
$$y = 15x- 3 \sin x + 5$$
$$y’ = 15- 3 \cos x$$

Исследуем производную на отрезке:
Производная $y’ = 15- 3 \cos x.$

На отрезке $\left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right]$ функция $\cos x$ принимает значения от $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ до $\cos(0) = 1.$

Тогда $-3 \cos x$ изменяется от $0$ до $-3.$

Таким образом, $y’$ изменяется от $15 + 0 = 15$ до $15- 3 = 12.$

Производная $y’ > 0$ на всем отрезке, значит, функция возрастает на $\left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right].$

Наибольшее значение достигается на правом конце отрезка:
Вычислим значение функции в точке $x = 0{:}$
$$y(0) = 15 \cdot 0- 3 \cdot \sin 0 + 5 = 0- 0 + 5 = 5$$

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $5.$

Найдем производную функции:
$$y = 6 \cos x + \dfrac{24}{\pi} x + 5$$
$$y’ = -6 \sin x + \dfrac{24}{\pi}$$

Исследуем производную на отрезке:
Производная $y’ = -6 \sin x + \dfrac{24}{\pi}.$

На отрезке $\left[ -\dfrac{2\pi}{3}; 0 \right]$ функция $\sin x$ принимает значения от $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ до $\sin(0) = 0.$

Тогда $-6 \sin x$ изменяется от $-6 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3} \approx 5.196$ до $-6 \cdot 0 = 0.$

Таким образом, $y’$ изменяется от $5.196 + \dfrac{24}{\pi} \approx 5.196 + 7.639 \approx 12.835$ до $0 + 7.639 \approx 7.639.$

Производная $y’ > 0$ на всем отрезке, значит, функция возрастает на $\left[ -\dfrac{2\pi}{3}; 0 \right].$

Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка:
Вычислим значение функции в точке $x = -\dfrac{2\pi}{3}{:}$
$$y\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + \dfrac{24}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + 5$$ $$\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{24}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -16$$ тогда:
$$y\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)- 16 + 5 = -3- 16 + 5 = -14$$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно $-14.$

Найдем производную функции:
$$y = (0.5- x) \cos x + \sin x$$
Используем правило дифференцирования произведения и суммы:
$$y’ = \left( (0.5- x) \cos x \right)’ + (\sin x)’$$
Производная произведения:
$$\left( (0.5- x) \cos x \right)’ = (0.5- x)’ \cos x + (0.5- x) (\cos x)’ = (-\cos x) + (0.5- x)(-\sin x) = -\cos x- (0.5- x) \sin x$$
Производная $\sin x{:}$
$$(\sin x)’ = \cos x$$
Таким образом:
$$y’ = -\cos x- (0.5- x) \sin x + \cos x =- (0.5- x) \sin x = (x- 0.5) \sin x$$

Найдем нули производной на интервале $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right){:}$
$$y’ = (x- 0.5) \sin x = 0$$
На интервале $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right){:}$

$\sin x > 0$ (так как $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$),

поэтому уравнение равносильно $x- 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5.$

Определим знак производной слева и справа от $x = 0.5{:}$

При $0 < x < 0.5{:}$ $x- 0.5 < 0,$ $\sin x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ < 0$ (функция убывает).

При $0.5 < x < \dfrac{\pi}{2}{:}$ $x- 0.5 > 0,$ $\sin x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = 0.5$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $x = 0.5.$