12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167265

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2\cos{x}-(2x-3)\sin{x}-2\cos{x}$$ $$f'(x)=-(2x-3)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(2x-3)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(2x-3)=0$$ $$x=1.5$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1.5;\frac{\pi}{2}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $1.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+3.$