12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167262
Найдите наименьшее значение функции $$y=4\tg{x}-4x-\pi+5$$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2x}-4$$ Найдем нули производной на отрезке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]$: $$\frac{4}{\cos^2x}-4=0$$ $$\frac{1}{\cos^2x}-1=0$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ производная данной функции всегда будет положительной, значит, функция будет всегда возрастающей.
Функция будет возрастать на всем промежутке $[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $-\frac{\pi}{4}.$
Найдем значение функции $y=4\tg{x}-4x-\pi+5$ в данной точке: $$y=4\tg\Big({-\frac{\pi}{4}}\Big)-4\cdot \Big( -\frac{\pi}{4}\Big)-\pi+5=1$$