12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167477

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=7\cos{x}-8$$ Найдем нули функции на отрезке $[-\frac{3\pi}{2};0]$: $$7\cos{x}-8=0$$ $$\cos{x}=\frac{8}{7}$$ Так как косинус может принимать значения от $-1$ до $1,$ корней у производной данной функции не будет, значит, функция будет всегда возрастающей или всегда убывающей.

Определим знак производной, подставив вместо $x$ любое значение. При любом значении $x$ производная будет отрицательной, значит, функция будет убывать на всем промежутке $[-\frac{3\pi}{2};0].$ Наименьшее значение функция будет принимать в точке $0.$

Найдем значение функции $y=7 \sin{x}-8x+9$ в данной точке: $$y=7 \sin{0}-8 \cdot 0+9=9$$