12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212046

Найдем производную функции:
$$y = 12 \cos x + 6\sqrt{3}x- 2\sqrt{3}\pi + 6$$
$$y’ = -12 \sin x + 6\sqrt{3}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$-12 \sin x + 6\sqrt{3} = 0 \Rightarrow 12 \sin x = 6\sqrt{3} \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
На отрезке $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ уравнение $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решение:
$$x = \dfrac{\pi}{3}$$

Определим знак производной на интервалах:

При $0 \leq x < \dfrac{\pi}{3}{:}$ $\sin x < \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -12 \sin x > -6\sqrt{3} \Rightarrow y’ > 0$ (функция возрастает).

При $\dfrac{\pi}{3} < x \leq \dfrac{\pi}{2}{:}$ $\sin x > \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -12 \sin x < -6\sqrt{3} \Rightarrow y’ < 0$ (функция убывает). Таким образом, в точке $x = \dfrac{\pi}{3}$ функция имеет максимум.

Вычислим значение функции в точке максимума и на концах отрезка:

• В точке $x = \dfrac{\pi}{3}{:}$
  $$y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 12 \cos \dfrac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\pi}{3}- 2\sqrt{3}\pi + 6$$
  $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2},$ тогда:
  $$y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 12 \cdot \dfrac{1}{2} + 2\sqrt{3}\pi- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 6 + 6 = 12$$
• На левом конце $x = 0{:}$
  $$y(0) = 12 \cos 0 + 0- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12 \cdot 1- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 18- 2\sqrt{3}\pi$$
  Так как $\sqrt{3} \approx 1.73,$ $\pi \approx 3.14,$ то $2\sqrt{3}\pi \approx 10.86,$ значит, $y(0) \approx 7.14 < 12.$
• На правом конце $x = \dfrac{\pi}{2}{:}$
  $$y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 12 \cos \dfrac{\pi}{2} + 6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\pi}{2}- 2\sqrt{3}\pi + 6 = 0 + 3\sqrt{3}\pi- 2\sqrt{3}\pi + 6 = \sqrt{3}\pi + 6$$
  $\sqrt{3}\pi \approx 5.44,$ значит, $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \approx 11.44 < 12.$

Наибольшее значение функции на отрезке равно $12.$