Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212047
Найдите наибольшее значение функции $y = 15x- 3 \sin x + 5$ на отрезке $\left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right].$
Найдем производную функции:
$$y = 15x- 3 \sin x + 5$$
$$y’ = 15- 3 \cos x$$
Исследуем производную на отрезке:
Производная $y’ = 15- 3 \cos x.$
На отрезке $\left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right]$ функция $\cos x$ принимает значения от $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ до $\cos(0) = 1.$
Тогда $-3 \cos x$ изменяется от $0$ до $-3.$
Таким образом, $y’$ изменяется от $15 + 0 = 15$ до $15- 3 = 12.$
Производная $y’ > 0$ на всем отрезке, значит, функция возрастает на $\left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right].$
Наибольшее значение достигается на правом конце отрезка:
Вычислим значение функции в точке $x = 0{:}$
$$y(0) = 15 \cdot 0- 3 \cdot \sin 0 + 5 = 0- 0 + 5 = 5$$
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $5.$
20
