12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212048

Найдем производную функции:
$$y = 6 \cos x + \dfrac{24}{\pi} x + 5$$
$$y’ = -6 \sin x + \dfrac{24}{\pi}$$

Исследуем производную на отрезке:
Производная $y’ = -6 \sin x + \dfrac{24}{\pi}.$

На отрезке $\left[ -\dfrac{2\pi}{3}; 0 \right]$ функция $\sin x$ принимает значения от $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$ до $\sin(0) = 0.$

Тогда $-6 \sin x$ изменяется от $-6 \cdot 0 = 0$ до $-6 \cdot (-1) = 6.$

Таким образом, $y’$ изменяется от $\dfrac{24}{\pi} \approx 7.639$ до $6 + \dfrac{24}{\pi} \approx 13.639.$

Производная $y’ > 0$ на всем отрезке, значит, функция возрастает на $\left[ -\dfrac{2\pi}{3}; 0 \right].$

Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка:
Вычислим значение функции в точке $x = -\dfrac{2\pi}{3}{:}$
$$y\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + \dfrac{24}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + 5$$ $$\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{24}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = -16$$ тогда:
$$y\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)- 16 + 5 = -3- 16 + 5 = -14$$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно $-14.$