12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212049

Найдем производную функции:
$$y = (0.5- x) \cos x + \sin x$$
Используем правило дифференцирования произведения и суммы:
$$y’ = \left( (0.5- x) \cos x \right)’ + (\sin x)’$$
Производная произведения:
$$\left( (0.5- x) \cos x \right)’ = (0.5- x)’ \cos x + (0.5- x) (\cos x)’ = (-\cos x) + (0.5- x)(-\sin x) = -\cos x- (0.5- x) \sin x$$
Производная $\sin x{:}$
$$(\sin x)’ = \cos x$$
Таким образом:
$$y’ = -\cos x- (0.5- x) \sin x + \cos x =- (0.5- x) \sin x = (x- 0.5) \sin x$$

Найдем нули производной на интервале $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right){:}$
$$y’ = (x- 0.5) \sin x = 0$$
На интервале $\left( 0; \dfrac{\pi}{2} \right){:}$

$\sin x > 0$ (так как $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$),

поэтому уравнение равносильно $x- 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5.$

Определим знак производной слева и справа от $x = 0.5{:}$

При $0 < x < 0.5{:}$ $x- 0.5 < 0,$ $\sin x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ < 0$ (функция убывает).

При $0.5 < x < \dfrac{\pi}{2}{:}$ $x- 0.5 > 0,$ $\sin x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = 0.5$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $x = 0.5.$