12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167266

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4\cos{x}-(4x-1)\sin{x}-4\cos{x}$$ $$f'(x)=-(4x-1)\sin{x}$$ Найдем нули производной на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$:$$-(4x-1)\sin{x}=0$$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, но на отрезке $\Big(0;\frac{\pi}{2}\Big)$ $\sin{x}>0.$ Значит: $$-(4x-1)=0$$ $$x=0.25$$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0.25$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=(4x-1)\cos{x}-4\sin{x}+7.$