13. Задачи по стереометрии: конус

Формула объема конуса:$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $$Выразим радиус из формулы объема:$$ r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}} $$Подставим известные значения:$$ r = \sqrt{\frac{3 \cdot 50\pi}{\pi \cdot 6}} = \sqrt{25} = 5 $$Радиус основания конуса равен $5.$

Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия:$$ \frac{V_1}{V_2} = k^3 $$Коэффициент подобия конусов (по высоте):$$ k = \frac{1}{2} $$Найдем объем отсекаемого конуса:$$ V_{\text{отс}} = V \cdot k^3 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 $$Объем отсекаемого конуса равен $4.$

Формула площади боковой поверхности конуса:$$ S = \pi r l $$Вычислим площадь боковой поверхности первого конуса:$$ S_1 = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi $$Вычислим площадь боковой поверхности второго конуса: $$ S_2 = \pi \cdot 6 \cdot 8 = 48\pi $$Найдем отношение площадей:$$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{48\pi}{8\pi} = 6 $$Площадь боковой поверхности второго конуса больше в $6$ раз.

Формула объема конуса:$$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $$Вычислим объем первого конуса:$$ V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 2 = 54\pi $$
Вычислим объем второго конуса:$$ V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi $$
Найдем отношение объемов:$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{54\pi}{9\pi} = 6 $$Объем первого конуса больше объема второго в $6$ раз.

Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия:$$ \frac{V_1}{V_2} = k^3 $$Определим коэффициент подобия:Высота делится в отношении $1:2,$ значит:$$ k = \frac{1}{3} $$Найдем объем исходного конуса:$$ \frac{V_{\text{отс}}}{V_{\text{исх}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$$$ V_{\text{исх}} = 10 \cdot 27 = 270 $$Объем исходного конуса равен $270.$

Пусть исходный конус имеет высоту $H$ и площадь основания $S_{\text{осн}} = 45.$
Плоскость, параллельная основанию, делит высоту на два отрезка: от вершины до сечения — $h_1 = 4,$ от сечения до основания — $h_2 = 8.$
Таким образом, полная высота конуса:
$$H = h_1 + h_2 = 4 + 8 = 12$$

Сечение конуса этой плоскостью является кругом, подобным основанию.
Рассмотрим подобные конусы:

• Исходный конус с высотой $H = 12$ и площадью основания $S_{\text{осн}} = 45.$
• Малый конус (от вершины до сечения) с высотой $h_1 = 4$ и площадью сечения $S_{\text{сеч}}.$

Коэффициент подобия $k$ между малым и исходным конусами равен отношению их высот:
$$k = \dfrac{h_1}{H} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$$

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$S_{сеч}/S_{осн}= k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$$

Тогда площадь сечения:
$$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \dfrac{1}{9} = 45 \cdot \dfrac{1}{9} = 5$$

Пусть исходный конус имеет высоту $H$ и площадь основания $S_{\text{осн}} = 72.$
Плоскость, параллельная основанию, делит высоту на два отрезка: от вершины до сечения — $h_1 = 3,$ от сечения до основания — $h_2 = 6.$
Таким образом, полная высота конуса:
$$H = h_1 + h_2 = 3 + 6 = 9$$

Сечение конуса этой плоскостью является кругом, подобным основанию.
Рассмотрим подобные конусы:

• Исходный конус с высотой $H = 12$ и площадью основания $S_{\text{осн}} = 72.$
• Малый конус (от вершины до сечения) с высотой $h_1 = 3$ и площадью сечения $S_{\text{сеч}}.$

Коэффициент подобия $k$ между малым и исходным конусами равен отношению их высот:
$$k = \dfrac{h_1}{H} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$$

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$S_{сеч}/S_{осн}= k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$$

Тогда площадь сечения:
$$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \dfrac{1}{9} = 72\cdot \dfrac{1}{9} = 8$$

Пусть:

• $d = 6$ — диаметр основания,
• $l = 5$ — длина образующей.

Тогда радиус основания:
$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Высота конуса $h$ связана с радиусом $r$ и образующей $l$ теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:
$$h^2 + r^2 = l^2$$

Отсюда:
$$h^2 = l^2- r^2 = 5^2- 3^2 = 25- 9 = 16$$
$$h = \sqrt{16} = 4$$

Пусть:

• $h = 4$ — высота конуса,
• $d = 6$ — диаметр основания.

Тогда радиус основания:
$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Образующая конуса $l$ связана с высотой $h$ и радиусом $r$ теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:
$$l^2 = h^2 + r^2$$

Подставляем известные значения:
$$l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$
$$l = \sqrt{25} = 5$$

Пусть исходный конус имеет высоту $H$ и площадь полной поверхности $S_{\text{полн}} = 12.$
Сечение делит высоту в отношении $1:1,$ считая от вершины. Это означает, что расстояние от вершины до сечения равно половине высоты конуса:
$$h_1 = \dfrac{H}{2}$$

Отсеченный конус (малый конус от вершины до сечения) подобен исходному конусу.
Коэффициент подобия $k$ равен отношению высот:
$$k = \dfrac{h_1}{H} = \dfrac{\dfrac{H}{2}}{H} = \dfrac{1}{2}$$

Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь полной поверхности малого конуса $S_{\text{мал}}$ связана с площадью полной поверхности исходного конуса соотношением:
$$S_{мал}/S_{полн} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$$

Отсюда:
$$S_{\text{мал}} = S_{\text{полн}} \cdot \dfrac{1}{4} = 12 \cdot \dfrac{1}{4} = 3$$