13. Задачи по стереометрии: Конус
Объем конуса равен $50\pi,$ а его высота равна $6.$ Найдите радиус основания конуса.
Формула объема конуса:$$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $$Выразим радиус из формулы объема:$$ r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}} $$Подставим известные значения:$$ r = \sqrt{\frac{3 \cdot 50\pi}{\pi \cdot 6}} = \sqrt{25} = 5 $$Радиус основания конуса равен $5.$
20
Объем конуса равен $32.$ Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью.
Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия:$$ \frac{V_1}{V_2} = k^3 $$Коэффициент подобия конусов (по высоте):$$ k = \frac{1}{2} $$Найдем объем отсекаемого конуса:$$ V_{\text{отс}} = V \cdot k^3 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 $$Объем отсекаемого конуса равен $4.$
20
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно $2$ и $4,$ а второго — $6$ и $8.$ Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Формула площади боковой поверхности конуса:$$ S = \pi r l $$Вычислим площадь боковой поверхности первого конуса:$$ S_1 = \pi \cdot 2 \cdot 4 = 8\pi $$Вычислим площадь боковой поверхности второго конуса: $$ S_2 = \pi \cdot 6 \cdot 8 = 48\pi $$Найдем отношение площадей:$$ \frac{S_2}{S_1} = \frac{48\pi}{8\pi} = 6 $$Площадь боковой поверхности второго конуса больше в $6$ раз.
20
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно $9$ и $2,$ а второго — $3$ и $3.$ Во сколько раз объем первого конуса больше объема второго?
Формула объема конуса:$$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $$Вычислим объем первого конуса:$$ V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 2 = 54\pi $$
Вычислим объем второго конуса:$$ V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi $$
Найдем отношение объемов:$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{54\pi}{9\pi} = 6 $$Объем первого конуса больше объема второго в $6$ раз.
20
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2,$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем отсекаемого конуса равен $10.$
Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия:$$ \frac{V_1}{V_2} = k^3 $$Определим коэффициент подобия:Высота делится в отношении $1:2,$ значит:$$ k = \frac{1}{3} $$Найдем объем исходного конуса:$$ \frac{V_{\text{отс}}}{V_{\text{исх}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$$$ V_{\text{исх}} = 10 \cdot 27 = 270 $$Объем исходного конуса равен $270.$
20