13. Задачи по стереометрии: #212447

Пусть исходный конус имеет высоту $H$ и площадь основания $S_{\text{осн}} = 45.$
Плоскость, параллельная основанию, делит высоту на два отрезка: от вершины до сечения — $h_1 = 4,$ от сечения до основания — $h_2 = 8.$
Таким образом, полная высота конуса:
$$H = h_1 + h_2 = 4 + 8 = 12$$

Сечение конуса этой плоскостью является кругом, подобным основанию.
Рассмотрим подобные конусы:

• Исходный конус с высотой $H = 12$ и площадью основания $S_{\text{осн}} = 45.$
• Малый конус (от вершины до сечения) с высотой $h_1 = 4$ и площадью сечения $S_{\text{сеч}}.$

Коэффициент подобия $k$ между малым и исходным конусами равен отношению их высот:
$$k = \dfrac{h_1}{H} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$$

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$S_{сеч}/S_{осн}= k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$$

Тогда площадь сечения:
$$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \dfrac{1}{9} = 45 \cdot \dfrac{1}{9} = 5$$