12. Планиметрия: Окружность

Согласно свойству вписанного угла, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

Угловая мера всей окружности составляет $360^\circ$, поэтому дуга в $\dfrac{1}{5}$ окружности равна:
$$\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$$Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен: $$\frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$ Искомый вписанный угол равен $36^\circ.$

Согласно свойству вписанного угла, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

Вычислим угловую меру дуги:
$$0.25 \cdot 360^\circ = 90^\circ$$Найдём величину вписанного угла:
$$\frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$$Искомый вписанный угол равен $45^\circ.$

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, они пересекаются в центре $O$.
Угол $AOD$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AD$.
Смежный угол $AOB$ равен: $$180^\circ-110^\circ = 70^\circ$$По теореме о вписанном угле:$$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$$Вписанный угол $ACB$ равен $35^\circ.$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC $$ $$ \cup ADC = 2 \cdot 105^\circ = 210^\circ$$ Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD $$ $$ \cup CD = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$$ Находим дугу $AD{:}$ $$\cup AD = \cup ADC-\cup CD = 210^\circ-70^\circ = 140^\circ$$ Вычисляем угол $ABD$, опирающийся на дугу $AD{:}$
$$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$Угол $ABD$ равен $70^\circ.$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD $$ $$ \cup AD = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$$ Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD $$ $$ \cup CD = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$$ Дуга $ADC$ равна сумме дуг $AD$ и $DC{:}$ $$\cup ADC = \cup AD + \cup DC = 150^\circ + 70^\circ = 220^\circ$$ Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC = \frac{1}{2} \cdot 220^\circ = 110^\circ$$ Угол $ABC$ равен $110^\circ.$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC$$ $$\cup ADC = 2 \cdot 110^\circ = 220^\circ$$ Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD$$ $$\cup AD = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$$Дуга $CD$ равна разности дуг $ADC$ и $AD{:}$ $$\cup CD = \cup ADC-\cup AD = 220^\circ-140^\circ = 80^\circ$$Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$$Угол $CAD$ равен $40^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC$$ $$\cup ADC = 2 \cdot 104^\circ = 208^\circ$$Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD$$ $$\cup CD = 2 \cdot 66^\circ = 132^\circ$$Дуга $AD$ равна разности дуг $ADC$ и $CD{:}$ $$\cup AD = \cup ADC-\cup CD = 208^\circ-132^\circ = 76^\circ$$Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 76^\circ = 38^\circ$$Угол $ABD$ равен $38^\circ.$

Так как угол, опирающийся на диаметр, прямой, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$.
Длина диаметра $AB{:}$ $$AB = 2 \cdot 3 = 6$$По теореме Пифагора находим $BC{:}$ $$BC = \sqrt{AB^2-AC^2}$$ $$BC=\sqrt{6^2-(2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16} = 4$$Длина отрезка $BC$ равна $4$.

Углы $AOD$ и $BOC$ равны как вертикальные:$$\angle BOC = \angle AOD = 130^\circ$$Смежный угол $AOB$ равен:$$\angle AOB = 180^\circ-130^\circ = 50^\circ$$Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

По свойству вписанного угла: $$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ$$Вписанный угол $ACB$ равен $25^\circ.$

Полная окружность составляет $360^\circ$, поэтому дуга в $\dfrac{1}{36}$ окружности равна:
$$360^\circ \cdot \frac{1}{36} = 10^\circ$$Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $$\frac{1}{2} \cdot 10^\circ = 5^\circ$$Вписанный угол равен $5^\circ$.