12. Планиметрия: #192612
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $110^\circ,$ угол $ABD$ равен $70^\circ.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC$$ $$\cup ADC = 2 \cdot 110^\circ = 220^\circ$$ Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD$$ $$\cup AD = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$$Дуга $CD$ равна разности дуг $ADC$ и $AD{:}$ $$\cup CD = \cup ADC-\cup AD = 220^\circ-140^\circ = 80^\circ$$Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$$Угол $CAD$ равен $40^\circ$.
20