12. Планиметрия: #192609
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $105^\circ$, угол $CAD$ равен $35^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC $$ $$ \cup ADC = 2 \cdot 105^\circ = 210^\circ$$ Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD $$ $$ \cup CD = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$$ Находим дугу $AD{:}$ $$\cup AD = \cup ADC-\cup CD = 210^\circ-70^\circ = 140^\circ$$ Вычисляем угол $ABD$, опирающийся на дугу $AD{:}$
$$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$Угол $ABD$ равен $70^\circ.$
20