12. Планиметрия: #192611
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $75^\circ$, угол $CAD$ равен $35^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD $$ $$ \cup AD = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$$ Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD $$ $$ \cup CD = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$$ Дуга $ADC$ равна сумме дуг $AD$ и $DC{:}$ $$\cup ADC = \cup AD + \cup DC = 150^\circ + 70^\circ = 220^\circ$$ Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC = \frac{1}{2} \cdot 220^\circ = 110^\circ$$ Угол $ABC$ равен $110^\circ.$
20