12. Планиметрия: #192613
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $104^\circ,$ угол $CAD$ равен $66^\circ.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cup ADC$$ $$\cup ADC = 2 \cdot 104^\circ = 208^\circ$$Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD$$ $$\cup CD = 2 \cdot 66^\circ = 132^\circ$$Дуга $AD$ равна разности дуг $ADC$ и $CD{:}$ $$\cup AD = \cup ADC-\cup CD = 208^\circ-132^\circ = 76^\circ$$Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 76^\circ = 38^\circ$$Угол $ABD$ равен $38^\circ.$
20