7. Молекулярная физика: Основное уравнение МКТ
При охлаждении разреженного аргона его абсолютная температура уменьшается в $4$ раза. Во сколько раз уменьшается при этом средняя кинетическая энергия теплового движения молекул аргона?
Основная формула:
Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа связана с абсолютной температурой $T$ соотношением:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$ где $k$ — постоянная Больцмана.
2. Изменение температуры:
По условию:
$$T_2 = \frac{T_1}{4}$$
3. Расчет изменения энергии:
Для начального и конечного состояний:
$$\langle E_{k1} \rangle = \frac{3}{2}kT_1$$
$$\langle E_{k2} \rangle = \frac{3}{2}kT_2 = \frac{3}{2}k\left(\frac{T_1}{4}\right) = \frac{1}{4}\langle E_{k1} \rangle$$
4. Отношение энергий:
$$\frac{\langle E_{k1} \rangle}{\langle E_{k2} \rangle} = 4$$
20
При понижении температуры идеального газа средняя кинетическая энергия его молекул уменьшилась в $2$ раза. Если начальная температура газа составляла $T_1 = 600\,\text{К}$, определите конечную температуру $T_2$ газа. Ответ запишите в кельвинах.
Формула связи энергии и температуры:
Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа определяется выражением:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$
где:
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Соотношение энергий:
По условию:
$$\frac{\langle E_{k1} \rangle}{\langle E_{k2} \rangle} = 2$$
3. Выражение через температуры:
$$\frac{\frac{3}{2}kT_1}{\frac{3}{2}kT_2} = 2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = 2$$
4. Расчет конечной температуры:
$$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{600\,\text{К}}{2} = 300\,\text{К}$$
20
При изотермическом уменьшении объема газа в $3$ раза определите, во сколько раз изменится давление газа на стенки сосуда. Температура газа остается постоянной.
Исходное уравнение состояния:
Для идеального газа при постоянной температуре справедлив закон Бойля-Мариотта:
$$pV = const$$
2. Обозначения:
Начальное состояние: $p_1$, $V_1$
Конечное состояние: $p_2$, $V_2 = \frac{V_1}{3}$
3. Применение закона Бойля-Мариотта:
$$p_1V_1 = p_2V_2$$$$p_1V_1 = p_2\left(\frac{V_1}{3}\right)$$
4. Вычисление изменения давления:
$$p_2 = 3p_1$$
20
Определите, во сколько раз уменьшится средняя кинетическая энергия движения молекул идеального газа, если его давление увеличится в $2$ раза, а концентрация молекул возрастет в $6$ раз.
Основное уравнение МКТ:
$$p = nkT$$где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Давление: $p_2 = 2p_1$
Концентрация: $n_2 = 6n_1$
3. Находим отношение температур:
Для начального и конечного состояний:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2kT_2}{n_1kT_1} \Rightarrow \frac{2p_1}{p_1} = \frac{6n_1T_2}{n_1T_1}$$
$$2 = 6\frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{3}$$
4. Средняя кинетическая энергия:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$
$$\frac{\langle E_{k2} \rangle}{\langle E_{k1} \rangle} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{3}$$
20
При увеличении средней кинетической энергии теплового движения молекул разреженного одноатомного газа в $2$ раза определите конечную температуру газа, если начальная температура составляла $T_1 = 250\,\text{К}$. Ответ дайте в кельвинах.
Формула связи энергии и температуры:
Для одноатомного идеального газа средняя кинетическая энергия молекул определяется как:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$ где:
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Соотношение энергий:
По условию:
$$\frac{\langle E_{k2} \rangle}{\langle E_{k1} \rangle} = 2$$
3. Выражение через температуры:
$$\frac{\frac{3}{2}kT_2}{\frac{3}{2}kT_1} = 2 \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = 2$$
4. Расчет конечной температуры:
$$T_2 = 2T_1 = 2 \cdot 250\,\text{К} = 500\,\text{К}$$
20
В термодинамическом процессе объем идеального газа увеличился в $2$ раза при постоянном давлении. Конечная температура газа составила $373\,°\text{C}$. Определите начальную абсолютную температуру газа. Ответ дайте в кельвинах.
Перевод температуры в Кельвины:
Конечная температура:
$$T_{\text{кон}} = 373\,°\text{C} + 273 = 646\,\text{K}$$
2. Уравнение состояния идеального газа:
Для изобарного процесса $(p = const)$ выполняется закон Гей-Люссака:
$$\frac{V_1}{T_{\text{нач}}} = \frac{V_2}{T_{\text{кон}}}$$
3. Учет изменения объема:
По условию $V_2 = 2V_1$, поэтому:
$$\frac{V_1}{T_{\text{нач}}} = \frac{2V_1}{646\,\text{K}}$$
4. Вычисление начальной температуры:
$$T_{нач} = \frac{646.15\,\text{K}}{2} = 323\,\text{K}$$
20
В эксперименте давление разреженного газа уменьшилось в $5$ раз, а средняя кинетическая энергия его молекул снизилась в $2$ раза. Определите, во сколько раз уменьшилась концентрация молекул газа в сосуде.
Связь энергии и температуры:
Средняя кинетическая энергия молекул:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$
При уменьшении энергии в $2$ раза:
$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$$
2. Основное уравнение МКТ:
$$p = nkT$$
Выражаем концентрацию:
$$n = \frac{p}{kT}$$
3. Изменение параметров:
— Давление: $\frac{p_2}{p_1} = \frac{1}{5}$
— Температура: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$
4. Расчет изменения концентрации:
$$\frac{n_2}{n_1} = \frac{p_2T_1}{p_1T_2} = \frac{1/5}{1/2} = \frac{2}{5} = 0.4$$
5. Определение коэффициента уменьшения:
$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{0.4} = 2.5$$
20
При охлаждении аргона его средняя кинетическая энергия молекул уменьшилась в $4$ раза, а абсолютная температура снизилась на $600\ К.$ Определите конечную температуру газа. Ответ дайте в кельвинах.
Связь энергии и температуры:
Для идеального газа:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$При уменьшении энергии в $4$ раза:
$$\frac{T_1}{T_2} = 4$$
2. Соотношение температур:
$$T_1 = 4T_2$$
3. Изменение температуры:
По условию:
$$\Delta T = T_1- T_2 = 600\,\text{K}$$Подставляем $T_1$:
$$4T_2- T_2 = 600\,\text{K}$$ $$3T_2 = 600\,\text{K}$$
4. Вычисление конечной температуры:
$$T_2 = \frac{600\,\text{K}}{3} = 200\,\text{K}$$
20
При изменении состояния идеального газа его концентрация увеличилась в $3$ раза, а температура уменьшилась в $2$ раза. Определите, во сколько раз изменилось давление газа.
Основное уравнение состояния:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона в форме:
$$p = nkT$$где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = n_1kT_1$
Конечное состояние: $p_2 = n_2kT_2 = (3n_1)k\left(\frac{T_1}{2}\right)$
3. Отношение давлений:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{3n_1k\frac{T_1}{2}}{n_1kT_1} = \frac{3}{2} = 1.5$$
20
При нагревании гелия его средняя кинетическая энергия молекул увеличилась в $4$ раза, а абсолютная температура возросла на $600\ К.$ Определите начальную температуру газа. Ответ дайте в кельвинах.
Связь энергии и температуры:
Для идеального газа:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$При увеличении энергии в $4$ раза:
$$\frac{T_2}{T_1} = 4$$
2. Соотношение температур:
$$T_2 = 4T_1$$
3. Изменение температуры:
По условию:
$$\Delta T = T_2- T_1 = 600\,\text{K}$$
Подставляем $T_2$:
$$4T_1- T_1 = 600\,\text{K}$$
$$3T_1 = 600\,\text{K}$$
4. Вычисление начальной температуры:
$$T_1 = \frac{600\,\text{K}}{3} = 200\,\text{K}$$
20
При охлаждении разреженного одноатомного газа средняя кинетическая энергия его молекул уменьшилась в $3$ раза. Если начальная температура составляла $T_1 = 600\,\text{К}$, определите конечную температуру газа. Ответ дайте в кельвинах.
Формула связи энергии и температуры:
Для одноатомного идеального газа:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$ где:
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Соотношение энергий:
По условию:
$$\frac{\langle E_{k1} \rangle}{\langle E_{k2} \rangle} = 3$$
3. Выражение через температуры:
$$\frac{T_1}{T_2} = 3$$
4. Расчет конечной температуры:
$$T_2 = \frac{T_1}{3} = \frac{600\,\text{К}}{3} = 200\,\text{К}$$
20
При охлаждении разреженного одноатомного газа средняя кинетическая энергия его молекул уменьшилась в $2$ раза. Если конечная температура газа составляет $T_2 = 250\,\text{К}$, определите начальную температуру газа. Ответ дайте в кельвинах.
Формула связи энергии и температуры:
Для одноатомного идеального газа:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$ где:
$k$ — постоянная Больцмана ($1.38 \cdot 10^{-23}\,\text{Дж/К}$),
$T$ — абсолютная температура.
2. Соотношение энергий:
По условию:
$$\frac{\langle E_{k1} \rangle}{\langle E_{k2} \rangle} = 2$$
3. Выражение через температуры:
$$\frac{T_1}{T_2} = 2$$
4. Расчет начальной температуры:
$$T_1 = 2T_2 = 2 \cdot 250\,\text{К} = 500\,\text{К}$$
20
Цилиндрический сосуд разделен подвижным теплоизолирующим поршнем на две части, содержащие аргон и неон. Концентрации молекул газов одинаковы. Определите отношение средней кинетической энергии молекул аргона к средней кинетической энергии молекул неона при равновесии поршня.
Условия равновесия:
Давления газов равны: $p_{Ar} = p_{Ne}$
Концентрации равны: $n_{Ar} = n_{Ne} = n$
2. Основное уравнение МКТ:
Давление выражается через среднюю кинетическую энергию:
$$p = \frac{2}{3}n\langle E_k \rangle$$
3. Применение к обоим газам:
Для аргона:
$$p_{Ar} = \frac{2}{3}n\langle E_{k,Ar} \rangle$$
Для неона:
$$p_{Ne} = \frac{2}{3}n\langle E_{k,Ne} \rangle$$
4. Уравнение равновесия:
$$\frac{2}{3}n\langle E_{k,Ar} \rangle = \frac{2}{3}n\langle E_{k,Ne} \rangle$$
5. Искомое отношение:
$$\frac{\langle E_{k,Ar} \rangle}{\langle E_{k,Ne} \rangle} = 1$$
20
При изменении состояния разреженного газа его давление увеличилось в $4$ раза, а средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул уменьшилась в $2$ раза. Определите, во сколько раз увеличилась концентрация молекул газа. Ответ дайте в виде целого числа.
Основное уравнение МКТ:
Давление газа связано с концентрацией и средней кинетической энергией:
$$p = \frac{2}{3}n\langle E_k \rangle$$
2. Изменение параметров:
Давление: $p_2 = 4p_1$
Энергия: $\langle E_{k2} \rangle = \frac{1}{2}\langle E_{k1} \rangle$
3. Выразим концентрацию:
$$n = \frac{3p}{2\langle E_k \rangle}$$
4. Отношение концентраций:
$$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{3p_2}{2\langle E_{k2} \rangle}}{\frac{3p_1}{2\langle E_{k1} \rangle}} = \frac{p_2\langle E_{k1} \rangle}{p_1\langle E_{k2} \rangle}$$
5. Подстановка значений:
$$\frac{n_2}{n_1} = \frac{4p_1 \cdot \langle E_{k1} \rangle}{p_1 \cdot \frac{1}{2}\langle E_{k1} \rangle} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$
20
При нагревании разреженного неона его абсолютная температура увеличилась в $4$ раза. Определите, во сколько раз увеличилась среднеквадратичная скорость теплового движения его молекул.
Формула для среднеквадратичной скорости:
$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$где:
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура,
$m$ — масса молекулы неона.
2. Изменение температуры:
$$T_2 = 4T_1$$
3. Отношение скоростей:
$$\frac{v_{кв2}}{v_{кв1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$$
20
При изменении состояния разреженного газа его концентрация молекул увеличилась в $2$ раза, а абсолютная температура уменьшилась в $4$ раза. Определите, во сколько раз изменилось давление газа.
Основное уравнение состояния:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона в форме:
$$p = nkT$$ где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = n_1kT_1$
Конечное состояние: $p_2 = n_2kT_2 = (2n_1)k\left(\frac{T_1}{4}\right)$
3. Отношение давлений:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{2n_1k\frac{T_1}{4}}{n_1kT_1} = \frac{2}{4} = 0.5$$
4. Вывод:
Давление уменьшилось в $2$ раза.
20
При нагревании одноатомного идеального газа его абсолютная температура увеличилась в $3$ раза, а концентрация молекул уменьшилась в $2$ раза. Определите, во сколько раз изменилось давление газа.
Основное уравнение состояния:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$p = nkT$$ где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = n_1kT_1$
Конечное состояние: $p_2 = n_2kT_2 = \left(\frac{n_1}{2}\right)k(3T_1)$
3. Отношение давлений:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{n_1}{2} \cdot 3T_1}{n_1T_1} = \frac{3}{2} = 1.5$$
4. Вывод:
Давление увеличилось в $1.5$ раза.
20
В сосуде находится гелий под давлением $p_1 = 160\,\text{кПа}$. После изменения состояния газа его концентрацию увеличили в $2$ раза, а среднюю кинетическую энергию молекул уменьшили в $4$ раза. Определите установившееся давление газа. Ответ запишите в килопаскалях.
Основное уравнение МКТ:
Давление газа выражается через концентрацию и среднюю кинетическую энергию:
$$p = \frac{2}{3}n\langle E_k \rangle$$
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = \frac{2}{3}n_1\langle E_{k1} \rangle = 160\,\text{кПа}$
Конечное состояние: $p_2 = \frac{2}{3}n_2\langle E_{k2} \rangle = \frac{2}{3}(2n_1)\left(\frac{\langle E_{k1} \rangle}{4}\right)$
3. Упрощение выражения:
$$p_2 = \frac{2}{3} \cdot 2n_1 \cdot \frac{\langle E_{k1} \rangle}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}n_1\langle E_{k1} \rangle = \frac{1}{2}p_1$$
4. Расчет конечного давления:
$$p_2 = \frac{160\,\text{кПа}}{2} = 80\,\text{кПа}$$
20
При изменении состояния идеального газа его абсолютная температура увеличилась в $1.5$ раза, а давление возросло в $4.5$ раза. Определите, во сколько раз увеличилась концентрация молекул газа.
Основное уравнение состояния:
$$p = nkT$$ где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = n_1kT_1$
Конечное состояние: $p_2 = n_2kT_2 = n_2k(1.5T_1) = 4.5p_1$
3. Выражаем отношение концентраций:
$$\frac{n_2}{n_1} = \frac{p_2T_1}{p_1T_2} = \frac{4.5p_1 \cdot T_1}{p_1 \cdot 1.5T_1} = \frac{4.5}{1.5} = 3$$
20
При изменении состояния идеального газа его абсолютная температура увеличилась в $1.5$ раза, а давление возросло в $4.5$ раза. Определите, во сколько раз увеличилась концентрация молекул газа.
Основное уравнение состояния:
$$p = nkT$$ где:
$p$ — давление газа,
$n$ — концентрация молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.
2. Изменение параметров:
Начальное состояние: $p_1 = n_1kT_1$
Конечное состояние: $p_2 = n_2kT_2 = n_2k(1.5T_1) = 4.5p_1$
3. Выражаем отношение концентраций:
$$\frac{n_2}{n_1} = \frac{p_2T_1}{p_1T_2} = \frac{4.5p_1 \cdot T_1}{p_1 \cdot 1.5T_1} = \frac{4.5}{1.5} = 3$$
20