Степень числа

Умножьте $3$ на $3$ десять раз и запишите это в тетради. Выражение будет таким:

$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

А теперь повторите то же самое $20$ раз. Устали? Чтобы не тратить массу сил, времени и чернил, в математике изобрели способ записывать перемножение числа на самого себя коротко в виде степени. 

Перемножение $3$ на саму себя $10$ раз или, другими словами, произведение из десяти троек будет выглядеть так:

$\large \textcolor{#3D68EB}{3}^\textcolor{#4DC46D}{10}$

В данном примере $\textcolor{#3D68EB}{3}$ называют основанием степени, $\textcolor{#4DC46D}{10}$ – показателем степени, само выражение целиком – степенью.

Итак, число, которое необходимо многократно умножить – это основание степени $a$. Число, показывающее сколько множителей в произведении, называется показателем степени $n$. 

Если произведение числа $a$ на самого себя состоит из $n$ множителей, то выражение выглядит как: $a^n$ и произносится так: «$a$ в энной степени». Либо возможны другие варианты:

• энная степень числа $a$;
• a в степени $n$.

Если число a умножают самого на себя $2$ раза, то обычно говорят «квадрат числа $a$» или «a в квадрате». По аналогии, если число a умножают на себя 3 раза, то говорят «куб числа $a$» или «$a$ в кубе».

Если показатель степени  n – натуральное число, то выражение в алгебре называют «степень с натуральным показателем».

Таким образом, степенью $a^n$ называется произведение $n$ одинаковых сомножителей, $a^n = \underbrace{a \times a \times … \times a}_{\text{n}}$ , где $n$ – натуральное число больше 1. 

То есть $n$ может быть равен 2, 3, 4 и т. д. Основание $a$ может быть любым действительным числом как положительным, так и отрицательным, или даже нулем.

Определение:

Для примера выражение $8 \times 8 \times 8$ запишем как $8^3$. Данная запись может произносится разными способами:

• восемь в третьей степени;
• восемь в кубе;
• куб числа восемь;
• третья степень числа восемь.

Если, например, необходимо $8$ умножить на себя $4$ раза, то, соответственно, запись выглядит так: $8^4$

Само действие читается так: 

• 8 возвели в четвертую степень;
• выполнили возведение в четвертую степень числа 8.