Размещения. Как выбрать формулу комбинаторики

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Из 11 кандидатов выбирают трех на разные должности: директора, заместителя и бухгалтера. Сколько существует способов?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$P_{11}=39916800$","$11^{3}=1331$","$A_{11}^{3}=990$","$C_{11}^{3}=165$"],"explanations":["Это перестановки всех элементов, а выбирают только часть","Так считают, если элементы могут повторяться; здесь предметы разные","","Это число способов выбрать группу без порядка; здесь порядок важен"],"answer":[2]}},"hints":["Задайте два вопроса: важен ли порядок выбранных и берутся ли все элементы.","Порядок важен, берут 3 из 11 — это размещения.","Ответ: A_{11}^{3}=990."],"step":1},{"id":"1","content":"Из 11 учеников класса выбирают троих для участия в олимпиаде (роли одинаковы). Сколько существует способов?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$11^{3}=1331$","$P_{11}=39916800$","$C_{11}^{3}=165$","$A_{11}^{3}=990$"],"explanations":["Так считают, если элементы могут повторяться; здесь предметы разные","Это перестановки всех элементов, а выбирают только часть","","Это учитывает порядок выбранных, а здесь он не важен: каждая группа посчитана несколько раз"],"answer":[2]}},"hints":["Задайте два вопроса: важен ли порядок выбранных и берутся ли все элементы.","Порядок не важен, берут 3 из 11 — это сочетания.","Ответ: C_{11}^{3}=165."],"step":1},{"id":"2","content":"В конкурсе 9 участников. Нужно определить победителя, второе и третье места. Сколькими способами это можно сделать? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"504"}},"hints":["Порядок важен, предметы не повторяются: на первом шаге 9 вариантов, на каждом следующем на один меньше, всего 3 шагов.","$A_{9}^{3}=9\\cdot 8\\cdot 7=504$.","Ответ: 504."],"step":1},{"id":"2","content":"В турнире 11 команд. Нужно определить команды на первое, второе, третье и четвертое места. Сколькими способами это можно сделать? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7920"}},"hints":["Порядок важен, предметы не повторяются: на первом шаге 11 вариантов, на каждом следующем на один меньше, всего 4 шагов.","$A_{11}^{4}=11\\cdot 10\\cdot 9\\cdot 8=7920$.","Ответ: 7920."],"step":1},{"id":"3","content":"Из 9 участников выбирают призеров на три разных места. Тогда $A_{9}^{3}=C_{9}^{3}\\cdot[[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$3$","$(9-3)!$","$9!$","$3!$"],"answer":3}},"hints":["Каждая группа из 3 предметов дает размещения, различающиеся только порядком.","Порядок 3 предметов можно задать $3!=6$ способами.","Проверка: $84\\cdot6=504$. Ответ: $3!$."],"step":1},{"id":"3","content":"Из 12 команд выбирают четыре в финал и располагают их по четырем дорожкам. Тогда $A_{12}^{4}=C_{12}^{4}\\cdot[[fill_choice-2]]$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$4!$","$4$","$12!$","$(12-4)!$"],"answer":0}},"hints":["Каждая группа из 4 предметов дает размещения, различающиеся только порядком.","Порядок 4 предметов можно задать $4!=24$ способами.","Проверка: $495\\cdot24=11880$. Ответ: $4!$."],"step":1},{"id":"4","content":"Код замка — три разные цифры из 0–9, порядок цифр важен. Сколькими способами это можно сделать? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"720"}},"hints":["Порядок важен, предметы не повторяются: на первом шаге 10 вариантов, на каждом следующем на один меньше, всего 3 шагов.","$A_{10}^{3}=10\\cdot 9\\cdot 8=720$.","Ответ: 720."],"step":1},{"id":"4","content":"PIN-код состоит из четырех разных цифр от 0 до 9. Сколькими способами это можно сделать? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"5040"}},"hints":["Порядок важен, предметы не повторяются: на первом шаге 10 вариантов, на каждом следующем на один меньше, всего 4 шагов.","$A_{10}^{4}=10\\cdot 9\\cdot 8\\cdot 7=5040$.","Ответ: 5040."],"step":1},{"id":"5","content":"В забеге 8 бегунов. Решавр считает число способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали: «Порядок важен, но группу из трех бегунов можно выбрать по-разному, поэтому делю: $\\frac{8\\cdot7\\cdot6}{3!}=56$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужно было считать $8^3=512$","Порядок важен, поэтому делить на $3!$ не нужно: верный ответ 336","Нужно считать $8!=40320$: переставлять надо всех бегунов","Ошибки нет: порядок учтен множителями $8\\cdot7\\cdot6$"],"explanations":["Бегуны не повторяются: один человек не получит две медали","","Медали получают только трое, а не все восемь: число шагов равно трем","Деление на $3!$ снова сводит разные порядки в один — это уже сочетания"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, различаются ли выбранные бегуны по тому, какую медаль получили.","Если порядок важен, размещения с разной медалью — разные способы, делить на $3!$ нельзя: $A_8^3=8\\cdot7\\cdot6=336$.","Ответ: делить на $3!$ не нужно, верно 336."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В классе 8 учеников, нужно выбрать трех человек в комиссию (все роли одинаковы). Решавр считает: «Первого выбираю 8 способами, второго 7, третьего 6, итого $8\\cdot7\\cdot6=336$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно умножить на $3!$: получится 2016","Нужно считать $8^3=512$","Порядок не важен: каждая комиссия посчитана $3!$ раз, нужно разделить на $3!$","Ошибки нет: $336$ — число комиссий"],"explanations":["Умножать нельзя: порядок и так уже учтен в 336, ответ станет еще больше","Ученики не повторяются: один человек не входит в комиссию дважды","","Комиссии из одних и тех же людей совпадают, их нельзя считать разными"],"answer":[2]}},"hints":["Подумайте: считаются ли одинаковыми комиссии из одних и тех же людей, названных в разном порядке?","Каждая комиссия посчитана $3!=6$ раз — по числу порядков ее членов. Нужно разделить: $336:6=56$.","Ответ: порядок не важен, надо делить на $3!$, верно 56."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте задачу и число способов.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Выбрать из 12 человек трех на должности директора, зама и бухгалтера","Выбрать из 12 человек трех в комиссию (роли одинаковы)","Расставить 7 гостей по 7 местам за столом"],"items":["$A_{12}^{3}=1320$","$C_{12}^{3}=220$","$P_{7}=5040$"]}},"instruction":"Сопоставьте задачи и числа способов","hints":["Для каждой задачи спросите: важен ли порядок и берутся ли все элементы.","Роли разные — размещения; роли одинаковые — сочетания; расставляют всех — перестановки.","Расчеты: роли разные — $12\\cdot 11\\cdot 10=1320$; роли одинаковые — $1320:3!=220$; расставляют всех — $7!=5040$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте задачу и число способов.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Из 9 команд определить золото, серебро и бронзу","Из 9 команд выбрать 3 для показательного матча (без ролей)","Выстроить 6 бегунов в очередь на старт"],"items":["$A_{9}^{3}=504$","$C_{9}^{3}=84$","$P_{6}=720$"]}},"instruction":"Сопоставьте задачи и числа способов","hints":["Для каждой задачи спросите: важен ли порядок и берутся ли все элементы.","Роли разные — размещения; роли одинаковые — сочетания; расставляют всех — перестановки.","Расчеты: роли разные — $9\\cdot 8\\cdot 7=504$; роли одинаковые — $504:3!=84$; расставляют всех — $6!=720$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В соревновании 10 участников. Определяют победителя, второе и третье места. Решавр считает: «Порядок важен, значит, $P_{10}=10!=3628800$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нужно $C_{10}^{3}=120$: порядок не важен","Нужно $10^{3}=1000$: предметы повторяются","Ошибки нет: порядок важен, значит, считают $10!$","Расставляют только 3 из 10: нужно $A_{10}^{3}=720$, а не $P_{10}$"],"explanations":["Порядок важен: места разные, сочетания дают меньше способов","Один предмет не может занять два места","Факториал $10!$ — расстановка всех, а мест только 3",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте, сколько предметов расставляют: все или только часть.","Занимают места только 3 из 10: дерево выбора обрывается на 3-м ярусе.","$A_{10}^{3}=10·9·8=720$. Ответ: 720."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Из 7 бегунов выбирают четверых для эстафеты и ставят на 1-й, 2-й, 3-й и 4-й этапы. Решавр считает: «Порядок важен, значит, $P_{7}=7!=5040$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нужно $7^{4}=2401$: предметы повторяются","Расставляют только 4 из 7: нужно $A_{7}^{4}=840$, а не $P_{7}$","Нужно $C_{7}^{4}=35$: порядок не важен","Ошибки нет: порядок важен, значит, считают $7!$"],"explanations":["Один предмет не может занять два места","","Порядок важен: места разные, сочетания дают меньше способов","Факториал $7!$ — расстановка всех, а мест только 4"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, сколько предметов расставляют: все или только часть.","Занимают места только 4 из 7: дерево выбора обрывается на 4-м ярусе.","$A_{7}^{4}=7·6·5·4=840$. Ответ: 840."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Пятеро друзей, среди которых Лена и Миша, садятся в ряд. Лена и Миша хотят сидеть рядом. Сколькими способами можно это сделать? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Двоих, которые должны стоять рядом, склеим в один «блок»: получаем объекты, которые переставляют как обычно.","Блок и еще 3 человек — это 4 объектов: их можно расставить 4! способами; внутри блока два порядка.","$4!\\cdot 2=24\\cdot2=48$. Ответ: 48."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Шестеро гостей, среди которых Олег и Рита, садятся в ряд из шести мест. Олег и Рита должны сидеть рядом. Сколькими способами можно это сделать? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"240"}},"hints":["Двоих, которые должны стоять рядом, склеим в один «блок»: получаем объекты, которые переставляют как обычно.","Блок и еще 4 человек — это 5 объектов: их можно расставить 5! способами; внутри блока два порядка.","$5!\\cdot 2=120\\cdot2=240$. Ответ: 240."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько существует 3-значных чисел с различными цифрами? Решавр считает: «Первая цифра — любая из 10, остальные на одну меньше: $A_{10}^{3}=720$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: порядок важен, значит, $A_{10}^{3}$","Ноль нельзя ставить первым: считают сначала первую цифру (9 способов), верный ответ 648","Нужно взять $10^{3}=1000$","Нужно разделить на $3!$: получится 120"],"explanations":["Среди $A_{10}^{3}$ есть записи с нулем впереди, например 012 — это число 12, а не трехзначное","","Цифры различны, повторять их нельзя","Порядок цифр в числе важен, склеивать расстановки нельзя"],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте: может ли число начинаться с нуля?","Первая цифра — одна из 9 (без нуля), остальные 2 размещают из оставшихся 9 цифр, включая ноль.","$9\\cdot9\\cdot 8=648$. Ответ: 648."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько существует 5-значных чисел с различными цифрами? Решавр считает: «Первая цифра — любая из 10, остальные на одну меньше: $A_{10}^{5}=30240$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Нужно разделить на $5!$: получится 252","Ошибки нет: порядок важен, значит, $A_{10}^{5}$","Нужно взять $10^{5}=100000$","Ноль нельзя ставить первым: считают сначала первую цифру (9 способов), верный ответ 27216"],"explanations":["Порядок цифр в числе важен, склеивать расстановки нельзя","Среди $A_{10}^{5}$ есть записи с нулем впереди, например 01234 — это число 1234, а не пятизначное","Цифры различны, повторять их нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["Подумайте: может ли число начинаться с нуля?","Первая цифра — одна из 9 (без нуля), остальные 4 размещают из оставшихся 9 цифр, включая ноль.","$9\\cdot9\\cdot 8\\cdot 7\\cdot 6=27216$. Ответ: 27216."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Код замка состоит из трех разных цифр, порядок важен; каждый допустимый код выбирают с одинаковой вероятностью. Какова вероятность угадать результат с первой попытки? Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"1/720"}},"hints":["Всего исходов столько, сколько размещений; благоприятный исход один.","$A_{10}^{3}=720$.","$P=\\frac1{720}$. Ответ: 1/720."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Перед забегом называют победителя, второе и третье места из 8 бегунов, причем любой набор имен равновозможен. Какова вероятность угадать результат с первой попытки? Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"1/336"}},"hints":["Всего исходов столько, сколько размещений; благоприятный исход один.","$A_{8}^{3}=336$.","$P=\\frac1{336}$. Ответ: 1/336."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>