Треугольник Паскаля

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]В треугольнике Паскаля в строке 9 пропущены два числа (рисунок). Найдите левое из них. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/j7r2b0ilius3.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Каждое число равно сумме двух чисел над ним.","Над левым пропуском стоят $8$ и $28$ из строки 8.","$8 + 28 = 36$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]В треугольнике Паскаля в строке 9 пропущены два числа (рисунок). Найдите левое из них. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/u4xwfru3tzec.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"84"}},"hints":["Каждое число равно сумме двух чисел над ним.","Над левым пропуском стоят $28$ и $56$ из строки 8.","$28 + 56 = 84$."],"step":1},{"id":"2","content":"Чему равна сумма чисел в строке 7 треугольника Паскаля?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$64$","$49$","$128$","$7$"],"explanations":["Это сумма строки 6: седьмую сверху строку приняли за строку 7, а строки нумеруют с нуля","Это $7^2$: при каждом шаге вниз сумма удваивается, поэтому она равна $2^7$, а не квадрату номера","","Это номер строки; сумма равна номеру только в строке 1, а уже $1 + 2 + 1 = 4$"],"answer":[2]}},"hints":["Каждый путь из 7 шагов приходит в какую-то точку строки 7, а на каждом шаге 2 выбора.","Сумма строки — число всех таких путей: $2^7 = 128$."],"step":1},{"id":"2","content":"Чему равна сумма чисел в строке 10 треугольника Паскаля?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$10$","$512$","$1024$","$100$"],"explanations":["Это номер строки; сумма равна номеру только в строке 1, а уже $1 + 2 + 1 = 4$","Это сумма строки 9: десятую сверху строку приняли за строку 10, а строки нумеруют с нуля","","Это $10^2$: при каждом шаге вниз сумма удваивается, поэтому она равна $2^{10}$, а не квадрату номера"],"answer":[2]}},"hints":["Каждый путь из 10 шагов приходит в какую-то точку строки 10, а на каждом шаге 2 выбора.","Сумма строки — число всех таких путей: $2^{10} = 1024$."],"step":1},{"id":"3","content":"Известно, что $C_9^4 = 126$ и $C_9^5 = 126$. Чему равно $C_{10}^5$? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"252"}},"hints":["Число $C_{10}^5$ стоит в строке 10 под $C_9^4$ и $C_9^5$.","$126 + 126 = 252$."],"step":1},{"id":"3","content":"Известно, что $C_{10}^4 = 210$ и $C_{10}^5 = 252$. Чему равно $C_{11}^5$? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"462"}},"hints":["Число $C_{11}^5$ стоит в строке 11 под $C_{10}^4$ и $C_{10}^5$.","$210 + 252 = 462$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-3]]По сетке улиц (рисунок) идут из $A$ в $B$ только вправо или вверх. Сколько существует кратчайших путей? [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lfzsbsrrtbfo.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["Путь — 7 шагов: 5 вправо и 2 вверх.","Выбираем 2 шага «вверх» из 7: $C_7^2 = 21$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-4]]По сетке улиц (рисунок) идут из $A$ в $B$ только вправо или вверх. Сколько существует кратчайших путей? [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3wgt3yrduzh0.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"56"}},"hints":["Путь — 8 шагов: 5 вправо и 3 вверх.","Выбираем 3 шага «вверх» из 8: $C_8^3 = 56$."],"step":1},{"id":"5","content":"Всего подмножеств у множества из 8 элементов (включая пустое и само множество): [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$128$","$64$","$256$","$16$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите вариант","hints":["Каждый элемент можно взять или не взять.","$2^8 = 256$."],"step":1},{"id":"5","content":"Всего подмножеств у множества из 9 элементов (включая пустое и само множество): [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$256$","$18$","$81$","$512$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите вариант","hints":["Каждый элемент можно взять или не взять.","$2^9 = 512$."],"step":1},{"id":"6","content":"Чему равен коэффициент при $a^3b^2$ в разложении $(a + b)^5$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$2$","$10$","$0$","$5$"],"explanations":["Это показатель степени при $b$, а не число способов выбрать скобки","","Так выйдет, если считать $(a+b)^5 = a^5 + b^5$; при $a = b = 1$ слева $32$, справа $2$, равенство неверно","Это место 1, $C_5^1$: в $a^3b^2$ буква $b$ взята 2 раза, а не 1"],"answer":[1]}},"hints":["Коэффициенты $(a + b)^5$ — строка 5 треугольника: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.","В слагаемом $a^3b^2$ буква $b$ взята 2 раза — это место 2 строки: $C_5^2 = 10$."],"step":1},{"id":"6","content":"Чему равен коэффициент при $a^4b^2$ в разложении $(a + b)^6$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$2$","$0$","$6$","$15$"],"explanations":["Это показатель степени при $b$, а не число способов выбрать скобки","Так выйдет, если считать $(a+b)^6 = a^6 + b^6$; при $a = b = 1$ слева $64$, справа $2$, равенство неверно","Это место 1, $C_6^1$: в $a^4b^2$ буква $b$ взята 2 раза, а не 1",""],"answer":[3]}},"hints":["Коэффициенты $(a + b)^6$ — строка 6 треугольника: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$.","В слагаемом $a^4b^2$ буква $b$ взята 2 раза — это место 2 строки: $C_6^2 = 15$."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите записи: какие из них равны $C_9^2$, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Равно","Не равно"],"items":[["$C_9^7$","$C_8^1 + C_8^2$","$\\dfrac{9 \\cdot 8}{2}$"],["$C_9^3$","$C_8^2 + C_8^3$","$C_8^2$"]]}},"instruction":"Распределите записи по группам","hints":["Симметрия: $C_9^2 = C_9^{9-2} = C_9^7$.","Правило суммы: $C_9^2 = C_8^1 + C_8^2 = 8 + 28 = 36$; соседняя пара $C_8^2 + C_8^3$ дает $C_9^3 = 84$.","Ответ: равны $C_9^7$, $C_8^1 + C_8^2$, $\\dfrac{9 \\cdot 8}{2}$; не равны $C_9^3$, $C_8^2 + C_8^3$, $C_8^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите записи: какие из них равны $C_{10}^3$, а какие нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Равно","Не равно"],"items":[["$C_{10}^7$","$C_9^2 + C_9^3$","$120$"],["$C_{10}^4$","$C_9^3 + C_9^4$","$C_9^3$"]]}},"instruction":"Распределите записи по группам","hints":["Симметрия: $C_{10}^3 = C_{10}^{10-3} = C_{10}^7$.","Правило суммы: $C_{10}^3 = C_9^2 + C_9^3 = 36 + 84 = 120$; соседняя пара $C_9^3 + C_9^4$ дает $C_{10}^4 = 210$.","Ответ: равны $C_{10}^7$, $C_9^2 + C_9^3$, $120$; не равны $C_{10}^4$, $C_9^3 + C_9^4$, $C_9^3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр написал: «В строке 5 треугольника Паскаля числа $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Сумма чисел равна $5$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Сумма чисел строки $n$ равна $2^n$: здесь $32$","Сумма чисел строки $n$ равна $n!$: здесь $120$","Сумма чисел строки $n$ равна $n^2$: здесь $25$","Сумма чисел строки $n$ равна $n$: здесь $5$"],"explanations":["","Факториал — произведение, а сумма чисел строки растет как степень двойки","Проверьте сложением: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$, а не $25$","Одно число $10$ уже больше $5$, значит сумма больше $5$"],"answer":[0]}},"hints":["Сложите числа строки: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1$.","Получается $32 = 2^5$, а не $5$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр написал: «В строке 4 треугольника Паскаля числа $1, 4, 6, 4, 1$. Сумма чисел равна $4$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Сумма чисел строки $n$ равна $n!$: здесь $24$","Сумма чисел строки $n$ равна $2n$: здесь $8$","Сумма чисел строки $n$ равна $2^n$: здесь $16$","Сумма чисел строки $n$ равна $n$: здесь $4$"],"explanations":["Факториал — произведение, а сумма чисел строки растет как степень двойки","Проверьте сложением: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$, а не $8$","","Одно число $6$ уже больше $4$, значит сумма больше $4$"],"answer":[2]}},"hints":["Сложите числа строки: $1 + 4 + 6 + 4 + 1$.","Получается $16 = 2^4$, а не $4$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решавр искал $C_4^2$. Он сказал: «Строка $1, 3, 3, 1$ — четвертая сверху, значит $C_4^2 = 3$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Это сумма: нужно сложить числа строки, ответ $8$","Строки нумеруют с $1$: нужна строка $1, 5, 10, 10, 5, 1$, ответ $10$","Ошибки нет: строка $1, 3, 3, 1$ верна, ответ $3$","Строки нумеруют с $0$: нужна строка $1, 4, 6, 4, 1$, ответ $6$"],"explanations":["Сумма строки равна $2^3 = 8$ для строки 3 и не дает $C_4^2$","Номер строки равен $n = 4$, а не $n + 1$","Число 3 стоит на месте 2 строки 3, это $C_3^2$, а не $C_4^2$",""],"answer":[3]}},"hints":["Строка $1, 3, 3, 1$ — строка 3: первую строку из одной единицы нумеруют нулем.","Строка 4 — это $1, 4, 6, 4, 1$; на месте 2 стоит $6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр искал $C_5^2$. Он сказал: «Строка $1, 4, 6, 4, 1$ — пятая сверху, значит $C_5^2 = 6$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: строка $1, 4, 6, 4, 1$ верна, ответ $6$","Строки нумеруют с $1$: нужна строка $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$, ответ $15$","Это сумма: нужно сложить числа строки, ответ $16$","Строки нумеруют с $0$: нужна строка $1, 5, 10, 10, 5, 1$, ответ $10$"],"explanations":["Число 6 стоит на месте 2 строки 4, это $C_4^2$, а не $C_5^2$","Номер строки равен $n = 5$, а не $n + 1$","Сумма строки $1, 4, 6, 4, 1$ равна $16$, но $C_5^2$ — не сумма",""],"answer":[3]}},"hints":["Строка $1, 4, 6, 4, 1$ — строка 4: первую строку из одной единицы нумеруют нулем.","Строка 5 — это $1, 5, 10, 10, 5, 1$; на месте 2 стоит $10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Монету бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что выпадет ровно 2 орла. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["15/64","0,234375","0.234375"]}},"hints":["Всего исходов: $2^6 = 64$.","Благоприятных: $C_6^2 = 15$.","$P = \\dfrac{15}{64} = 0{,}234375$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Монету бросают 7 раз. Найдите вероятность того, что выпадет ровно 2 орла. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["21/128","0,1640625","0.1640625"]}},"hints":["Всего исходов: $2^7 = 128$.","Благоприятных: $C_7^2 = 21$.","$P = \\dfrac{21}{128} = 0{,}1640625$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>