Тест: элементы комбинаторики

10 заданий по модулю «Элементы комбинаторики»: правило умножения, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля. Ответ — число, выбор варианта или распределение по группам. Ориентир — 20 минут. После проверки откройте разбор решения каждого задания.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Для прогулки нужно выбрать шапку (3 вида), шарф (4 вида) и перчатки (5 видов). Сколько существует разных комплектов? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Три выбора подряд: шапка, шарф, перчатки.","$3 \\cdot 4 \\cdot 5 = 60$."],"step":1},{"id":"1","content":"Для школы нужно выбрать рюкзак (6 видов), бутылку (2 вида) и пенал (4 вида). Сколько существует разных комплектов? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Три выбора подряд: рюкзак, бутылка, пенал.","$6 \\cdot 2 \\cdot 4 = 48$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решавр решал: «6 видов открыток и 3 вида конвертов. Набор — открытка и конверт. Сколько наборов?» Он написал: $6 + 3 = 9$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Наборов $6$: конверт не выбирают","Ошибки нет: наборов $9$","Надо возвести в степень: $6^3$","Надо умножать: $6 \\cdot 3 = 18$"],"explanations":["К каждой открытке подходит любой из 3 конвертов: открытка 1 с конвертом 1 и с конвертом 2 — разные наборы","На дереве 18 листьев: каждая открытка дает 3 набора","Степень берут при повторном выборе из одного набора, здесь наборов два",""],"answer":[3]}},"hints":["К каждой открытке подходит любой из 3 конвертов.","Наборов $6 \\cdot 3 = 18$, а не 9."],"step":1},{"id":"2","content":"Решавр решал: «7 видов красок и 2 вида кистей. Набор — краска и кисть. Сколько наборов?» Он написал: $7 + 2 = 9$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо умножать: $7 \\cdot 2 = 14$","Наборов $7$: кисть не выбирают","Надо возвести в степень: $7^2$","Ошибки нет: наборов $9$"],"explanations":["","К каждой краске подходит любая из 2 кистей: краска 1 с кистью 1 и с кистью 2 — разные наборы","Степень берут при повторном выборе из одного набора, здесь наборов два","На дереве 14 листьев: каждая краска дает 2 набора"],"answer":[0]}},"hints":["К каждой краске подходит любая из 2 кистей.","Наборов $7 \\cdot 2 = 14$, а не 9."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых все цифры разные? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["4536","4 536"]}},"hints":["Первая цифра четырехзначного числа — любая, кроме $0$: 9 способов.","Вторая — любая из 9 оставшихся (теперь $0$ можно), третья — 8, четвертая — 7.","$9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 4536$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ составляют четырехзначные числа без повторов цифр. Сколько существует таких чисел? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["1470","1 470"]}},"hints":["Первая цифра — любая из 7 (не $0$).","Вторая — любая из 7 оставшихся (ноль можно), третья — 6, четвертая — 5.","$7 \\cdot 7 \\cdot 6 \\cdot 5 = 1470$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Распределите задачи по тому, важен ли порядок выбора.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Порядок важен","Порядок не важен"],"items":[["<span>Призеры 1, 2 и 3 места<br>из 8 участников</span>","<span>Расписание из 4 разных<br>уроков на день</span>"],["<span>Жюри из 3 человек<br>из 8 учителей</span>","<span>3 ингредиента салата<br>из 7</span>"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Порядок важен, если после перестановки выбранных получается другой результат.","Порядок не важен, если получается тот же набор.","Ответ: порядок важен — призеры по местам; расписание уроков. Не важен — жюри; ингредиенты салата."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите задачи по тому, важен ли порядок выбора.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Порядок важен","Порядок не важен"],"items":[["<span>Этапы эстафеты: 4 бегуна<br>на 1, 2, 3 и 4 этапы</span>","<span>Номер из 3 разных<br>цифр</span>"],["<span>2 книги в поездку<br>из 9</span>","<span>2 напарника в поход<br>из 9 человек</span>"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Порядок важен, если после перестановки выбранных получается другой результат.","Порядок не важен, если получается тот же набор.","Ответ: порядок важен — места в эстафете; номер из цифр. Не важен — книги в поездку; напарники в поход."],"step":1},{"id":"5","content":"Из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ составляют трехзначные четные числа без повторов цифр. Сколько существует таких чисел? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"105"}},"hints":["Последняя цифра — $0$, $2$, $4$ или $6$; от нее зависит выбор первой цифры, поэтому разберем два случая.","Последняя $0$: первая — любая из 6 оставшихся, средняя — из 5: $6 \\cdot 5 = 30$.","Последняя $2$, $4$ или $6$ (3 способа): первая — не $0$ и не последняя, 5 способов; средняя — 5 способов (ноль можно): $3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75$.","Случаи не пересекаются — складываем: $30 + 75 = 105$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ составляют трехзначные четные числа без повторов цифр. Сколько существует таких чисел? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Последняя цифра — $0$, $2$, $4$ или $6$; от нее зависит выбор первой цифры, поэтому разберем два случая.","Последняя $0$: первая — любая из 7 оставшихся, средняя — из 6: $7 \\cdot 6 = 42$.","Последняя $2$, $4$ или $6$ (3 способа): первая — не $0$ и не последняя, 6 способов; средняя — 6 способов (ноль можно): $3 \\cdot 6 \\cdot 6 = 108$.","Случаи не пересекаются — складываем: $42 + 108 = 150$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решавр решал: «Сколькими способами из 6 человек можно выбрать троих в команду?» Он написал: $6 \\cdot 5 \\cdot 4 = 120$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Делить на $3!$: будет $20$","Делить на $3$: будет $40$","Ошибки нет: способов $120$","Сложить: $6 + 5 + 4 = 15$"],"explanations":["","Тройку можно упорядочить $3! = 6$ способами, а не тремя","В 120 каждая тройка посчитана 6 раз — по числу порядков","Выбор троих — три шага подряд, складывать числа нельзя"],"answer":[0]}},"hints":["Порядок троих в команде не важен: одна и та же тройка посчитана несколько раз.","Тройку можно упорядочить $3! = 6$ способами: $120 : 6 = 20$."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр решал: «Сколькими способами из 7 книг можно выбрать две для обмена?» Он написал: $7 \\cdot 6 = 42$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Умножить на $2!$: будет $84$","Делить на $2!$: будет $21$","Ошибки нет: способов $42$","Сложить: $7 + 6 = 13$"],"explanations":["Пары в 42 уже посчитаны дважды; умножение посчитает их четырежды","","В 42 каждая пара посчитана дважды — как два разных порядка","Выбор двух книг — два шага подряд, складывать числа нельзя"],"answer":[1]}},"hints":["Порядок двух книг не важен: пара «А, Б» и пара «Б, А» — один выбор.","Каждая пара посчитана $2! = 2$ раза: $42 : 2 = 21$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр решал: «В кружке 4 мальчика и 9 девочек. Выбирают 3 человек. Сколькими способами можно выбрать тройку, в которой ровно один мальчик?» Он написал: $C_{13}^3 = 286$. Найдите ошибку и запишите верный ответ. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"144"}},"hints":["Ошибка: $C_{13}^3$ — все тройки, в том числе без мальчиков и с двумя-тремя мальчиками.","Одного мальчика выбираем из 4: 4 способа; двух девочек — из 9 без порядка: $C_9^2 = 36$.","Шаги подряд — перемножаем: $4 \\cdot 36 = 144$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решал: «В кружке 3 девочки и 7 мальчиков. Выбирают 3 человек. Сколькими способами можно выбрать тройку, в которой ровно одна девочка?» Он написал: $C_{10}^3 = 120$. Найдите ошибку и запишите верный ответ. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["Ошибка: $C_{10}^3$ — все тройки, в том числе без девочек и с двумя-тремя девочками.","Одну девочку выбираем из 3: 3 способа; двух мальчиков — из 7 без порядка: $C_7^2 = 21$.","Шаги подряд — перемножаем: $3 \\cdot 21 = 63$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"9 участников конкурса выступают по очереди. Число способов установить порядок выступлений — [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["362880","45","81","18"],"answer":0}},"instruction":"Выберите число","hints":["Первым может выступить любой из 9 участников, вторым — любой из 8 оставшихся, третьим — из 7, …, последним — один.","$9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6 \\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 9! = 362880$."],"step":1},{"id":"8","content":"7 бегунов распределяют по 7 дорожкам, на каждую дорожку по одному. Число способов — [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["28","5040","14","49"],"answer":1}},"instruction":"Выберите число","hints":["Первую дорожку может занять любой из 7 бегунов, вторую — из 6 оставшихся, …, последнюю — один.","$7 \\cdot 6 \\cdot 5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 7! = 5040$."],"step":1},{"id":"9","content":"Монету бросают 8 раз. Найдите вероятность того, что выпадет ровно 2 орла. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["7/64","28/256","0,109375","0.109375"]}},"hints":["Всего исходов: $2^8 = 256$.","Благоприятных: $C_8^2 = \\dfrac{8 \\cdot 7}{2} = 28$ (строка $1, 8, 28, \\ldots$, место 2).","$P = \\dfrac{28}{256} = \\dfrac{7}{64} = 0{,}109375$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Монету бросают 9 раз. Найдите вероятность того, что выпадет ровно 2 орла. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["9/128","36/512","0,0703125","0.0703125"]}},"hints":["Всего исходов: $2^9 = 512$.","Благоприятных: $C_9^2 = \\dfrac{9 \\cdot 8}{2} = 36$ (строка $1, 9, 36, \\ldots$, место 2).","$P = \\dfrac{36}{512} = \\dfrac{9}{128} = 0{,}0703125$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр написал: «В строке 8 треугольника Паскаля сумма чисел равна $8$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Сумма равна $n^2$: здесь $64$","Сумма равна $2^n$: здесь $256$","Ошибки нет: сумма равна $8$","Сумма равна $2n$: здесь $16$"],"explanations":["В строке 8 есть число $70$ — оно одно уже больше $64$","","Уже $1 + 8 = 9$, значит сумма больше $8$","В строке 8 есть число $28$ — оно одно уже больше $16$"],"answer":[1]}},"hints":["Строка 8: $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$.","Сумма: $256 = 2^8$, а не $8$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решавр написал: «В строке 9 треугольника Паскаля сумма чисел равна $9$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сумма равна $9$","Сумма равна $2n$: здесь $18$","Сумма равна $n^2$: здесь $81$","Сумма равна $2^n$: здесь $512$"],"explanations":["Уже $1 + 9 = 10$, значит сумма больше $9$","В строке 9 есть число $36$ — оно одно уже больше $18$","В строке 9 есть число $126$ — оно одно уже больше $81$",""],"answer":[3]}},"hints":["Строка 9: $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$.","Сумма: $512 = 2^9$, а не $9$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>