Перестановки, факториал, сочетания

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Соотнесите выражение и его значение. Два числа лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$0!$","$5!$","$\\dfrac{9!}{7!}$","$C_6^4$"],"items":["$1$","$120$","$72$","$15$","$0$","$25$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и значение","hints":["$0! = 1$ по договоренности; $5! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5$.","$\\dfrac{9!}{7!} = 9 \\cdot 8$; $C_6^4 = C_6^2 = \\dfrac{6 \\cdot 5}{2}$.","Ответ: $0! = 1$, $5! = 120$, $\\dfrac{9!}{7!} = 72$, $C_6^4 = 15$; лишние — $0$ и $25$."],"step":1},{"id":"1","content":"Соотнесите выражение и его значение. Два числа лишние.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$0!$","$4!$","$\\dfrac{10!}{8!}$","$C_7^5$"],"items":["$1$","$24$","$90$","$21$","$0$","$16$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и значение","hints":["$0! = 1$ по договоренности; $4! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4$.","$\\dfrac{10!}{8!} = 10 \\cdot 9$; $C_7^5 = C_7^2 = \\dfrac{7 \\cdot 6}{2}$.","Ответ: $0! = 1$, $4! = 24$, $\\dfrac{10!}{8!} = 90$, $C_7^5 = 21$; лишние — $0$ и $16$."],"step":1},{"id":"2","content":"На полке расставляют 5 разных книг в один ряд. Сколько существует способов их расставить? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["На первое место — 5 книг, на второе — 4, … на последнее — 1.","$5! = 120$."],"step":1},{"id":"2","content":"На столе раскладывают в ряд 6 разных карточек. Сколько существует способов их разложить? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"720"}},"hints":["На первое место — 6 карточек, на второе — 5, … на последнее — 1.","$6! = 720$."],"step":1},{"id":"3","content":"Для какой задачи порядок выбора не важен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Выбрать президента и казначея клуба из 10","Составить трехзначное число из разных цифр 1–5","Расставить 5 учеников в очередь","Выбрать 2 фрукта из корзины с 10 разными фруктами"],"explanations":["Роли разные: если поменять людей местами, получится другой выбор","Числа $123$ и $321$ — разные, порядок важен","Очередь — это порядок, перестановка дает другую очередь",""],"answer":[3]}},"hints":["Порядок не важен, если после перестановки выбранных получается тот же набор.","Пара дежурных — набор: «Аня и Боря» и «Боря и Аня» — один выбор."],"step":1},{"id":"3","content":"Для какой задачи порядок выбора не важен?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Расставить 3 фигурки на полке из 7","Выбрать 3 цветка в букет из 7","Составить пароль из 3 разных букв","Назначить капитана и вице-капитана из 7"],"explanations":["Порядок на полке меняет расстановку, порядок важен","","Пароли «АБВ» и «ВБА» — разные, порядок важен","Роли разные: если поменять людей местами, получится другой выбор"],"answer":[1]}},"hints":["Порядок не важен, если после перестановки выбранных получается тот же набор.","Букет из трех цветов — набор: порядок цветов в нем не меняет букет."],"step":1},{"id":"4","content":"В классе 9 учеников. Для турнира нужно выбрать команду из 4 человек. Число способов это сделать равно [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$4!$","$9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6$","$9^4$","$C_9^4$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите вариант","hints":["Поменяйте двух участников местами: команда та же — порядок не важен.","Значит, это сочетания: $C_9^4 = \\dfrac{9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6}{4!} = 126$."],"step":1},{"id":"4","content":"В кружке 8 человек. Нужно выбрать делегацию из 5 человек. Число способов это сделать равно [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$8^5$","$8 \\cdot 7 \\cdot 6 \\cdot 5 \\cdot 4$","$5!$","$C_8^5$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите вариант","hints":["Поменяйте двух участников местами: делегация та же — порядок не важен.","Значит, это сочетания: $C_8^5 = C_8^3 = \\dfrac{8 \\cdot 7 \\cdot 6}{3!} = 56$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вычислите $C_{15}^{13}$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"105"}},"hints":["Выбрать 13 из 15 — то же, что выбрать 2, которых не берем: $C_{15}^{13} = C_{15}^2$.","$C_{15}^2 = \\dfrac{15 \\cdot 14}{2} = 105$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вычислите $C_{20}^{18}$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"190"}},"hints":["Выбрать 18 из 20 — то же, что выбрать 2, которых не берем: $C_{20}^{18} = C_{20}^2$.","$C_{20}^2 = \\dfrac{20 \\cdot 19}{2} = 190$."],"step":1},{"id":"6","content":"В круговом турнире играют 6 команд, каждая с каждой по одному разу. Сколько будет матчей? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Каждая команда играет с 5 соперниками: $6 \\cdot 5 = 30$ — матч посчитан дважды.","$30 : 2 = 15$."],"step":1},{"id":"6","content":"В круговом турнире играют 9 команд, каждая с каждой по одному разу. Сколько будет матчей? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Каждая команда играет с 8 соперниками: $9 \\cdot 8 = 72$ — матч посчитан дважды.","$72 : 2 = 36$."],"step":1},{"id":"7","content":"Шесть человек встают в одну шеренгу. Вера и Олег не должны стоять рядом. Сколько существует способов построения? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"480"}},"hints":["Все расстановки минус те, где Вера и Олег рядом.","Всего $6! = 720$; рядом: объединяем их в одну фишку и умножаем на $2$ — $2 \\cdot 5! = 240$.","$720-240 = 480$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Семь человек встают в одну шеренгу. Вера и Олег не должны стоять рядом. Сколько существует способов построения? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["3600","3 600"]}},"hints":["Все расстановки минус те, где Вера и Олег рядом.","Всего $7! = 5040$; рядом: объединяем их в одну фишку и умножаем на $2$ — $2 \\cdot 6! = 1440$.","$5040-1440 = 3600$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В классе 5 девочек и 4 мальчика. Для дежурства выбирают 3 человек. Сколькими способами можно выбрать дежурных, если среди них ровно одна девочка? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Одну девочку выбираем из 5: 5 способов.","Двух мальчиков — из 4 без порядка: $C_4^2 = 6$.","Шаги подряд — перемножаем: $5 \\cdot 6 = 30$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В классе 4 девочки и 6 мальчиков. Для дежурства выбирают 3 человек. Сколькими способами можно выбрать дежурных, если среди них ровно одна девочка? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Одну девочку выбираем из 4: 4 способа.","Двух мальчиков — из 6 без порядка: $C_6^2 = 15$.","Шаги подряд — перемножаем: $4 \\cdot 15 = 60$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр решал задачу: «Сколькими способами из 5 человек можно выбрать двух дежурных?» Он написал: $5 \\cdot 4 = 20$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо разделить на $2$: получится $10$","Надо сложить: $5 + 4 = 9$","Ошибки нет: $20$ способов","Надо вычислить $5! = 120$"],"explanations":["","Выбор двух человек — два шага подряд, складывать числа нельзя","В 20 каждая пара людей посчитана дважды — как два разных порядка","$5!$ — все расстановки пятерых; дежурных выбирают двоих"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте на парах: «Аня и Боря» и «Боря и Аня» — один и тот же набор дежурных.","Каждая пара посчитана дважды: делим на $2! = 2$ и получаем $10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр решал задачу: «Сколькими способами из 5 книг можно выбрать три для поездки?» Он написал: $5 \\cdot 4 \\cdot 3 = 60$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $60$ способов","Надо разделить на $3!$: получится $10$","Надо вычислить $5! = 120$","Надо сложить: $5 + 4 + 3 = 12$"],"explanations":["В 60 каждая тройка посчитана 6 раз — по числу порядков","","$5!$ — все расстановки пяти книг; выбирают три","Выбор трех книг — три шага подряд, складывать числа нельзя"],"answer":[1]}},"hints":["Порядок книг в рюкзаке не важен: одна и та же тройка посчитана несколько раз.","Тройку можно упорядочить $3! = 6$ способами: делим на $6$ и получаем $10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр вычислял $6!$ и написал: $6! = 2 \\cdot 6 = 12$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$6!$ равно $6 \\cdot 6 = 36$","$6!$ равно $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$","Ошибки нет: $6! = 12$","$6! = 720$"],"explanations":["Квадрат — это $6^2$; в факториале множители разные: $1, 2, \\ldots, 6$","Числа перемножают, а не складывают: каждый множитель — шаг расстановки","Уже $4! = 24$ больше $12$, а $6!$ еще больше: $n!$ растет быстрее, чем $2n$",""],"answer":[3]}},"hints":["Удвоение совпадает с факториалом только при $n = 3$: $3! = 6 = 2 \\cdot 3$. Уже $4! = 24$.","$6!$ — произведение всех чисел от 1 до 6: $1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5 \\cdot 6 = 720$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решавр вычислял $7!$ и написал: $7! = 2 \\cdot 7 = 14$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $7! = 14$","$7!$ равно $7 \\cdot 7 = 49$","$7! = 5040$","$7!$ равно $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$"],"explanations":["Уже $4! = 24$ больше $14$, а $7!$ еще больше: $n!$ растет быстрее, чем $2n$","Квадрат — это $7^2$; в факториале множители разные: $1, 2, \\ldots, 7$","","Числа перемножают, а не складывают: каждый множитель — шаг расстановки"],"answer":[2]}},"hints":["Удвоение совпадает с факториалом только при $n = 3$: $3! = 6 = 2 \\cdot 3$. Уже $4! = 24$.","$7!$ — произведение всех чисел от 1 до 7: $6! \\cdot 7 = 720 \\cdot 7 = 5040$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>