Комбинаторное правило умножения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В кондитерской 5 видов мороженого и 4 вида топпинга. Сколько разных порций «мороженое и топпинг» можно заказать?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$20$","$29$","$4$","$9$"],"explanations":["","Это $5 \\cdot 4 + 5 + 4$: порция — только пара «мороженое и топпинг», отдельные виды не считаются","Так считают только топпинги к одному виду мороженого, а видов мороженого 5","Это $5 + 4$: сложение считает отдельные виды, а не порции из двух частей"],"answer":[0]}},"hints":["Порция — это два выбора: мороженое и топпинг.","К каждому из 5 видов подойдет любой из 4 топпингов: $5 \\cdot 4 = 20$."],"step":1},{"id":"1","content":"В магазине 6 рубашек и 3 галстука. Сколько разных комплектов «рубашка и галстук» можно составить?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$18$","$27$","$3$","$9$"],"explanations":["","Это $6 \\cdot 3 + 6 + 3$: комплект — только пара «рубашка и галстук», отдельные вещи не считаются","Так считают только галстуки к одной рубашке, а рубашек 6","Это $6 + 3$: сложение считает отдельные вещи, а не комплекты из двух вещей"],"answer":[0]}},"hints":["Комплект — это два выбора: рубашка и галстук.","К каждой из 6 рубашек подойдет любой из 3 галстуков: $6 \\cdot 3 = 18$."],"step":1},{"id":"2","content":"Туристу нужно выбрать маршрут: из $A$ в $B$ ведут 2 тропы, из $B$ в $C$ — 5 троп, из $C$ в $D$ — 3 тропы. Сколько существует маршрутов из $A$ в $D$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Три выбора подряд: тропа $A \\to B$, $B \\to C$, $C \\to D$.","Перемножаем: $2 \\cdot 5 \\cdot 3 = 30$."],"step":1},{"id":"2","content":"Школьник выбирает завтрак: 4 вида каши, 2 вида сока и 5 видов булочек. Он берет по одному из каждого. Сколько разных завтраков возможно? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Три выбора подряд: каша, сок, булочка.","Перемножаем: $4 \\cdot 2 \\cdot 5 = 40$."],"step":1},{"id":"3","content":"Код замка состоит из трех цифр, цифры могут повторяться. Игорь набирает код наугад, одна попытка. Найдите вероятность того, что он угадает код. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,001","0.001","1/1000"]}},"hints":["Число всех кодов: $n = 10 \\cdot 10 \\cdot 10 = 1000$.","Благоприятный исход один: $m = 1$.","$P = \\dfrac{1}{1000} = 0{,}001$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Код замка состоит из четырех цифр, цифры могут повторяться. Мила набирает код наугад, одна попытка. Найдите вероятность того, что она угадает код. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,0001","0.0001","1/10000"]}},"hints":["Число всех кодов: $n = 10 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 10 = 10000$.","Благоприятный исход один: $m = 1$.","$P = \\dfrac{1}{10000} = 0{,}0001$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Пароль состоит из 4 символов, каждый — одна из цифр $1, 2, 3, 4, 5$. Цифры могут повторяться. Сколько существует паролей? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"625"}},"hints":["На каждом из 4 мест — любая из 5 цифр.","$5 \\cdot 5 \\cdot 5 \\cdot 5 = 5^4 = 625$."],"step":1},{"id":"4","content":"Код состоит из 3 символов, каждый — одна из цифр от $1$ до $7$. Цифры могут повторяться. Сколько существует кодов? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"343"}},"hints":["На каждом из 3 мест — любая из 7 цифр.","$7 \\cdot 7 \\cdot 7 = 7^3 = 343$."],"step":1},{"id":"5","content":"Выбрать одну книгу — из 6 романов или из 4 сборников рассказов. Числа 6 и 4 нужно [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["сложить","перемножить","разделить","вычесть"],"answer":0}},"instruction":"Выберите вариант","hints":["Покупают одну книгу: либо роман, либо сборник, пары нет.","Варианты из разных наборов складывают: $6 + 4 = 10$."],"step":1},{"id":"5","content":"Выбрать комплект «майка и кепка» из 5 маек и 3 кепок. Числа 5 и 3 нужно [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["разделить","перемножить","вычесть","сложить"],"answer":1}},"instruction":"Выберите вариант","hints":["Нужны сразу два предмета: майка и кепка.","Каждую майку сочетают с любой кепкой: числа перемножают, $5 \\cdot 3 = 15$."],"step":1},{"id":"6","content":"Из цифр $0, 1, 2, 3$ составляют трехзначные числа без повторов цифр. Сколько таких чисел? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Самое строгое условие — первая цифра не $0$: 3 способа.","Вторая цифра — любая из трех оставшихся (теперь $0$ можно): 3 способа.","Третья — из двух оставшихся: $3 \\cdot 3 \\cdot 2 = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Из цифр $0, 1, 2, 3, 4$ составляют трехзначные числа без повторов цифр. Сколько таких чисел? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Самое строгое условие — первая цифра не $0$: 4 способа.","Вторая цифра — любая из четырех оставшихся: 4 способа.","Третья — из трех оставшихся: $4 \\cdot 4 \\cdot 3 = 48$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько существует трехзначных четных чисел с разными цифрами, составленных из цифр $0, 1, 2, 3, 4$? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Последняя цифра — $0$, $2$ или $4$, и от нее зависит выбор первой цифры, поэтому разберем случаи.","Последняя $0$: первая — любая из $1, 2, 3, 4$ (4 способа), средняя — из трех оставшихся: $4 \\cdot 3 = 12$.","Последняя $2$ или $4$ (2 способа): первая — не $0$ и не последняя (3 способа), средняя — из трех оставшихся, ноль можно: $2 \\cdot 3 \\cdot 3 = 18$.","Случаи не пересекаются («или»), складываем: $12 + 18 = 30$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько существует трехзначных четных чисел с разными цифрами, составленных из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5$? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"52"}},"hints":["Последняя цифра — $0$, $2$ или $4$, и от нее зависит выбор первой цифры, поэтому разберем случаи.","Последняя $0$: первая — любая из $1, 2, 3, 4, 5$ (5 способов), средняя — из четырех оставшихся: $5 \\cdot 4 = 20$.","Последняя $2$ или $4$ (2 способа): первая — не $0$ и не последняя (4 способа), средняя — из четырех оставшихся, ноль можно: $2 \\cdot 4 \\cdot 4 = 32$.","Случаи не пересекаются («или»), складываем: $20 + 32 = 52$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Соотнесите задачу и выражение. Одно выражение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Код из 3 кнопок замка с 5 кнопками, кнопки могут повторяться","Код из 3 разных кнопок замка с 5 кнопками","Комплект: одна из 5 рубашек и одни из 3 брюк","Одна покупка: одна из 5 рубашек или одни из 3 брюк"],"items":["$5 \\cdot 5 \\cdot 5$","$5 \\cdot 4 \\cdot 3$","$5 \\cdot 3$","$5 + 3$","$5 + 4 + 3$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и выражение","hints":["Повторы можно — на каждом из трех мест все 5 кнопок; без повторов — на каждом следующем месте на одну меньше.","Комплект — пара «рубашка и брюки», числа перемножают; одна покупка — «или», числа складывают.","Ответ: $5 \\cdot 5 \\cdot 5$, $5 \\cdot 4 \\cdot 3$, $5 \\cdot 3$, $5 + 3$; лишнее — $5 + 4 + 3$."],"step":1},{"id":"8","content":"Соотнесите задачу и выражение. Одно выражение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Шифр из 3 букв, букв в наборе 6, буквы могут повторяться","Шифр из 3 разных букв, букв в наборе 6","Обед: один из 6 супов и один из 4 салатов","Одно блюдо: один из 6 супов или один из 4 салатов"],"items":["$6 \\cdot 6 \\cdot 6$","$6 \\cdot 5 \\cdot 4$","$6 \\cdot 4$","$6 + 4$","$6 + 5 + 4$"]}},"instruction":"Соотнесите задачу и выражение","hints":["Повторы можно — на каждом из трех мест все 6 букв; без повторов — на каждом следующем месте на одну меньше.","Пара «суп и салат» — числа перемножают; одно блюдо — «или», числа складывают.","Ответ: $6 \\cdot 6 \\cdot 6$, $6 \\cdot 5 \\cdot 4$, $6 \\cdot 4$, $6 + 4$; лишнее — $6 + 5 + 4$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решавр решал задачу: «В меню 4 салата и 3 горячих блюда. Сколькими способами можно выбрать одно блюдо — салат или горячее?» Он написал: $4 \\cdot 3 = 12$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужно сложить и еще добавить пары: $4 + 3 + 4 \\cdot 3 = 19$","Нужно складывать: блюдо одно, либо салат, либо горячее, способов $4 + 3 = 7$","Нужно вычесть: $4-3=1$","Ошибки нет: 12 способов"],"explanations":["Одно блюдо и пара — разные задачи; в этой задаче пар нет совсем","","Вычитание ничего не считает: способов не может быть меньше, чем салатов","12 — это число пар «салат и горячее», а здесь берут только одно блюдо"],"answer":[1]}},"hints":["Выбирают одно блюдо, пары «салат и горячее» нет: дерево имеет один ярус.","Варианты из разных наборов складывают: $4 + 3 = 7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр решал задачу: «В буфете 5 видов пирожков и 2 вида булочек. Сколькими способами можно купить одно изделие — пирожок или булочку?» Он написал: $5 \\cdot 2 = 10$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно сложить и еще добавить пары: $5 + 2 + 5 \\cdot 2 = 17$","Ошибки нет: 10 способов","Нужно складывать: изделие одно, либо пирожок, либо булочка, способов $5 + 2 = 7$","Нужно вычесть: $5-2=3$"],"explanations":["Одно изделие и пара — разные задачи; в этой задаче пар нет совсем","10 — это число пар «пирожок и булочка», а здесь покупают только одно изделие","","Вычитание ничего не считает: способов не может быть меньше, чем видов пирожков"],"answer":[2]}},"hints":["Покупают одно изделие, пары «пирожок и булочка» нет: дерево имеет один ярус.","Варианты из разных наборов складывают: $5 + 2 = 7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр считал трехзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ без повторов и написал: $7 \\cdot 6 \\cdot 5 = 210$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Не учтено, что цифры повторяются: надо $7^3 = 343$","Не учтено, что число не начинается с $0$: на первое место 6 способов, всего 180","Надо сложить: $7 + 6 + 5 = 18$","Ошибки нет: 210 чисел"],"explanations":["В условии сказано «без повторов», поэтому повторы не допускаются","","Шаги следуют друг за другом, поэтому числа перемножают","Среди 210 есть записи вида $012$, которые не являются трехзначными числами"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте первую цифру: число не может начинаться с нуля.","Первых цифр не 7, а 6; на второе место — любая из 6 оставшихся (ноль теперь можно), на третье — из 5: $6 \\cdot 6 \\cdot 5 = 180$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр считал четырехзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3, 4$ без повторов и написал: $5 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 = 120$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Не учтено, что цифры повторяются: надо $5^4 = 625$","Ошибки нет: 120 чисел","Не учтено, что число не начинается с $0$: на первое место 4 способа, всего 96","Надо сложить: $5 + 4 + 3 + 2 = 14$"],"explanations":["В условии сказано «без повторов», поэтому повторы не допускаются","Среди 120 есть записи вида $0123$, которые не являются четырехзначными числами","","Шаги следуют друг за другом, поэтому числа перемножают"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте первую цифру: число не может начинаться с нуля.","Первых цифр не 5, а 4: получается $4 \\cdot 4 \\cdot 3 \\cdot 2 = 96$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>