Перестановки с повторениями: слова и числа

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Распределите задачи: в каких все элементы различны ($n!$), а в каких есть одинаковые.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Все элементы различны ($n!$)","Есть одинаковые элементы ($n!/(n_1!\\ldots)$)"],"items":[["Расставить 6 разных книг на полке","Рассадить 5 гостей в ряд"],["Составить слова из букв слова «ПОЛОТНО»","Составить коды из цифр 1, 1, 2, 3"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Если все элементы различны, считают $n!$.","Если есть одинаковые, делят на факториалы их повторов.","Ответ: по две задачи в каждой группе."],"step":1},{"id":"1","content":"Распределите задачи: в каких все элементы различны ($n!$), а в каких есть одинаковые.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Все элементы различны ($n!$)","Есть одинаковые элементы ($n!/(n_1!\\ldots)$)"],"items":[["Выстроить в очередь 7 разных учеников","Расположить 4 разных флага на стене"],["Составить слова из букв слова «ТОРТ»","Составить числа из цифр 5, 5, 5, 7"]]}},"instruction":"Распределите задачи по группам","hints":["Если все элементы различны, считают $n!$.","Если есть одинаковые, делят на факториалы их повторов.","Ответ: по две задачи в каждой группе."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько различных слов (в том числе бессмысленных) можно получить перестановкой букв слова «БАРАН»? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["В слове 5 букв; повторы: «Б» — 1, «А» — 2, «Р» — 1, «Н» — 1. Одинаковые буквы при перестановке дают то же слово, поэтому листья дерева склеиваются.","$P=\\frac{5!}{2!}=60$.","Ответ: 60."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько различных слов (в том числе бессмысленных) можно получить перестановкой букв слова «КИОСК»? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["В слове 5 букв; повторы: «К» — 2, «И» — 1, «О» — 1, «С» — 1. Одинаковые буквы при перестановке дают то же слово, поэтому листья дерева склеиваются.","$P=\\frac{5!}{2!}=60$.","Ответ: 60."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько различных 5-значных чисел можно записать, используя каждую из цифр 1, 1, 2, 3, 3 ровно один раз (цифры 1, 3 встречаются несколько раз)? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Всего 5 цифр; повторы: «1» — 2, «2» — 1, «3» — 2.","Делим $n!$ на факториалы повторов: $\\frac{5!}{2!\\cdot 2!}=30$.","Ответ: 30."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько различных 6-значных чисел можно записать, используя каждую из цифр 4, 4, 5, 5, 5, 6 ровно один раз (цифры 4, 5 встречаются несколько раз)? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Всего 6 цифр; повторы: «4» — 2, «5» — 3, «6» — 1.","Делим $n!$ на факториалы повторов: $\\frac{6!}{2!\\cdot 3!}=60$.","Ответ: 60."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте слово и число различных слов, которые можно получить перестановкой его букв.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Слово «ПОПУГАЙ»","Слово «КАЗАК»","Слово «ОКОНО»"],"items":["2520 слов","30 слов","20 слов"]}},"instruction":"Сопоставьте слова и числа","hints":["Для каждого слова посчитайте $n!$ и поделите на факториалы повторов.","«ПОПУГАЙ»: 7!/... = 2520; «КАЗАК»: 5!/... = 30; «ОКОНО»: 5!/... = 20","Ответ: сопоставление по числам."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте слово и число различных слов, которые можно получить перестановкой его букв.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Слово «ТОРТ»","Слово «ШИШКИ»","Слово «АКАЦИЯ»"],"items":["12 слов","30 слов","360 слов"]}},"instruction":"Сопоставьте слова и числа","hints":["Для каждого слова посчитайте $n!$ и поделите на факториалы повторов.","«ТОРТ»: 4!/... = 12; «ШИШКИ»: 5!/... = 30; «АКАЦИЯ»: 6!/... = 360","Ответ: сопоставление по числам."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Робот идет по линиям клетчатой сетки из левого нижнего угла в правый верхний и делает только шаги вправо и вверх. Нужно сделать 3 шага вправо и 2 шага вверх. Сколько существует различных путей? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Путь — слово из 5 шагов: 3 буквы П и 2 буквы В. Различные пути — различные слова.","$P(3,2)=\\frac{5!}{3!\\,2!}=C_{5}^{2}=10$.","Ответ: 10."],"step":1},{"id":"5","content":"Робот идет по линиям клетчатой сетки из левого нижнего угла в правый верхний и делает только шаги вправо и вверх. Нужно сделать 4 шага вправо и 3 шага вверх. Сколько существует различных путей? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Путь — слово из 7 шагов: 4 буквы П и 3 буквы В. Различные пути — различные слова.","$P(4,3)=\\frac{7!}{4!\\,3!}=C_{7}^{3}=35$.","Ответ: 35."],"step":1},{"id":"6","content":"Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «ПОЛОТНО»? Решавр считает: «Одинаковые буквы повторяются, поэтому делю на число повторов: $7!:3=1680$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Делить нужно на факториал числа повторов: $7!:(3!)=840$","Нужно разделить на 7: получится 720","Ошибки нет: слов 1680","Нужно взять $7!=5040$: буквы считают разными"],"explanations":["","Делить на длину слова не нужно: склеивают только перестановки одинаковых букв","Каждое слово посчитано 6 раз, а не 3","Одинаковые буквы нельзя отличить, слова совпадают"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте, сколько раз каждое слово посчитано при перестановке одинаковых букв.","Одинаковые буквы можно переставить $k!$ способами, а не $k$.","$7!:(3!)=840$. Ответ: 840."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «АРАРАТ»? Решавр считает: «Одинаковые буквы повторяются, поэтому делю на число повторов: $6!:6=120$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нужно разделить на 6: получится 120","Делить нужно на факториал числа повторов: $6!:(3!\\cdot 2!)=60$","Нужно взять $6!=720$: буквы считают разными","Ошибки нет: слов 120"],"explanations":["Делить на длину слова не нужно: склеивают только перестановки одинаковых букв","","Одинаковые буквы нельзя отличить, слова совпадают","Каждое слово посчитано 12 раз, а не 6"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, сколько раз каждое слово посчитано при перестановке одинаковых букв.","Одинаковые буквы можно переставить $k!$ способами, а не $k$.","$6!:(3!\\cdot 2!)=60$. Ответ: 60."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько пятизначных чисел можно записать, используя каждую из цифр 1, 0, 0, 2, 3 ровно один раз? Решавр считает: «Цифры повторяются, поэтому $5!:\\,(2!)=60$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Не вычтены записи с нулем впереди (24): верный ответ 36","Нужно взять $5!=120$","Нужно вычесть из 60 половину: 30","Ошибки нет: число способов равно 60"],"explanations":["","Одинаковые цифры нельзя различить, такие записи совпадают","Записи с нулем впереди составляют не половину, их считают отдельно","Запись, начинающаяся с нуля, пятизначным числом не является"],"answer":[0]}},"hints":["Подумайте, все ли получившиеся записи являются пятизначными числами.","Среди 60 записей есть такие, что начинаются с нуля: их 24.","$60-24=36$. Ответ: 36."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько пятизначных чисел можно записать, используя каждую из цифр 0, 0, 5, 5, 7 ровно один раз? Решавр считает: «Цифры повторяются, поэтому $5!:\\,(2!\\cdot 2!)=30$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно вычесть из 30 половину: 15","Не вычтены записи с нулем впереди (12): верный ответ 18","Нужно взять $5!=120$","Ошибки нет: число способов равно 30"],"explanations":["Записи с нулем впереди составляют не половину, их считают отдельно","","Одинаковые цифры нельзя различить, такие записи совпадают","Запись, начинающаяся с нуля, пятизначным числом не является"],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте, все ли получившиеся записи являются пятизначными числами.","Среди 30 записей есть такие, что начинаются с нуля: их 12.","$30-12=18$. Ответ: 18."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Буквы слова «КОЛОКОЛ» написали на карточках, перемешали и выложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КОЛОКОЛ»? Перемешивание такое, что любой порядок карточек равновероятен. Ответ запишите несократимой обыкновенной дробью в виде a/b. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"1/210"}},"hints":["Карточки различимы, поэтому раскладок 7!, и по условию они равновероятны; каждое слово получается одним и тем же числом раскладок, значит, различные слова равновозможны. Найдем число слов: $\\frac{7!}{2!\\cdot 3!\\cdot 2!}=210$.","Благоприятное слово одно.","$P=\\frac1{210}$. Ответ: 1/210."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Буквы слова «МАМАША» написали на карточках, перемешали и выложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «МАМАША»? Перемешивание такое, что любой порядок карточек равновероятен. Ответ запишите несократимой обыкновенной дробью в виде a/b. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"1/60"}},"hints":["Карточки различимы, поэтому раскладок 6!, и по условию они равновероятны; каждое слово получается одним и тем же числом раскладок, значит, различные слова равновозможны. Найдем число слов: $\\frac{6!}{2!\\cdot 3!}=60$.","Благоприятное слово одно.","$P=\\frac1{60}$. Ответ: 1/60."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько существует кодов длины 4, в которых есть хотя бы одна цифра 7? Код состоит из 4 цифр от 0 до 9; цифры могут повторяться, первая цифра тоже может быть нулем. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"3439"}},"hints":["Все коды: $10^{4}=10000$. Противоположное событие — в коде нет цифры 7: на каждом месте 9 цифр.","Таких кодов $9^{4}=6561$; искомое число равно разности.","$10000-6561=3439$. Ответ: 3439."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько существует кодов длины 3, в которых есть хотя бы одна цифра 0? Код состоит из 3 цифр от 0 до 9; цифры могут повторяться, первая цифра тоже может быть нулем. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"271"}},"hints":["Все коды: $10^{3}=1000$. Противоположное событие — в коде нет цифры 0: на каждом месте 9 цифр.","Таких кодов $9^{3}=729$; искомое число равно разности.","$1000-729=271$. Ответ: 271."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В слове одна буква встречается дважды, остальные буквы различны. Из перестановок букв получили 2520 различных слов. Сколько букв в слове? [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Число слов равно $\\frac{n!}{2!}=\\frac{n!}{2}$, значит, $n!=5040$.","Подбираем факториал: $7!=5040$.","Проверка: $5040:2=2520$. Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В слове одна буква встречается дважды, остальные буквы различны. Из перестановок букв получили 360 различных слов. Сколько букв в слове? [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Число слов равно $\\frac{n!}{2!}=\\frac{n!}{2}$, значит, $n!=720$.","Подбираем факториал: $6!=720$.","Проверка: $720:2=360$. Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>