Перестановки с повторениями

$P(n_1,\ldots,n_m)=\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\ldots n_m!}$, $n_1+\ldots+n_m=n$ — число различных расстановок

Склейка листьев

Каждое слово объединяет $n_1!\cdot n_2!\cdot\ldots\cdot n_m!$ помеченных перестановок; число слов получают, деля $n!$ на это произведение

Алгоритм подсчета слов

Найти n, выписать повторы, разделить n! на факториалы повторов

C как частный случай

$C_n^k=P(k,n-k)$: $k$ мест одного вида и $n-k$ другого

Ноль не первый

Считают все расстановки и вычитают те, где ноль впереди

Две одинаковые рядом

Одинаковых склеивают в блок и считают расстановки нового набора

Хотя бы один

Число исходов с «хотя бы одним» равно числу всех исходов минус число исходов без него; для вероятности $P(A)=1-P(\overline{A})$. Для кодов длины $k$ из цифр 0–9 (ноль впереди разрешен), содержащих заданную цифру: $10^k-9^k$

Вероятность слова

При равновероятном перемешивании карточек различные слова равновозможны: $P=\dfrac{1}{P(n_1,\ldots,n_m)}$

Что расставляют и когда получают новый результат?

В перестановке с повторениями в ряд ставят все $n$ предметов, среди которых есть одинаковые. Расстановки различны, если хотя бы на одном месте стоят предметы разных видов. Если все предметы различны, число расстановок $P_n=n!$; если есть одинаковые, перестановка их между собой нового результата не дает.

Одна группа одинаковых предметов

Если среди $n$ предметов один вид встречается $k$ раз, а остальные предметы различны, число расстановок равно $\dfrac{n!}{k!}$. Делим на факториал числа повторов: столько помеченных расстановок дают один результат. Проверяем сумму количеств всех видов: она равна $n$. Множители $1!=1$ можно не писать.

Как считать пути по сетке?

Путь из $k$ шагов вправо и $n-k$ шагов вверх задается выбором мест для шагов вправо. Поэтому $C_n^k=P(k,n-k)=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. То же правило действует для расстановок любых двух видов одинаковых предметов.

Противоположное событие

Для события $A$ «есть хотя бы один нужный элемент» событие $\overline{A}$ означает, что нужных элементов нет. Число подходящих исходов равно числу всех исходов минус число исходов без нужного элемента; $P(A)=1-P(\overline{A})$. При равновозможных исходах $P(A)=\dfrac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех исходов.

Перестановки с повторениями: слова и числа

9 класс Вероятность и статистика Элементы комбинаторики

Флеш-карточки к уроку «Перестановки с повторениями: слова и числа»

Освоение темы

Занимайтесь в одном из четырех режимов, чтобы повышать уровень освоения.

Интервальное повторение

Сегодня

Через неделю

Через 2 недели

Через 3 недели

Позанимайтесь сегодня и возвращайтесь через неделю.

Термины

Все

Освоение темы

Освоение терминов

Освоение темы

Освоение терминов

Очистите экран

Ваши ответы

Готовы увидеть результат?