Второй замечательный предел

Тренажер учит раскрывать неопределенность $1^\infty$ с помощью второго замечательного предела $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$. Если основание степени равно $1 + \alpha$, где $\alpha \to 0$, а показатель $\beta$ стремится к бесконечности, то предел степени равен $e^{\lim \alpha\beta}$. Остается выделить $\alpha$ и найти предел произведения $\alpha\beta$.

Тренажер предназначен для студентов вузов и колледжей, которые изучают математический анализ. Нужно уметь вычислять пределы отношения многочленов на бесконечности.

Задания трех видов одинаковой сложности:

• выражения вида $\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}$ при $x \to \infty$;
• дробь в основании, например $\left(\frac{x + 5}{x - 2}\right)^{2x + 1}$: в ней нужно выделить единицу;
• выражения вида $(1 + 2x)^{\frac{3}{x}}$ при $x \to 0$.

Каждый предел равен $e^k$. Нужно найти показатель $k$ и ввести его с клавиатуры. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Задания создаются заново при каждом ответе. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам.

В результате вы научитесь узнавать неопределенность $1^\infty$ и раскрывать ее без громоздких преобразований. Второй замечательный предел используют в задачах на непрерывное начисление процентов, в теории вероятностей и при выводе производной показательной функции.