Производная параметрически заданной функции

Тренажер учит находить производную функции, заданной параметрически: $x = x(t)$, $y = y(t)$. Производная $y$ по $x$ равна отношению производных по параметру: $y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}$. Нужно найти обе производные по $t$, подставить значение параметра $t_0$ и разделить одно на другое.

Тренажер предназначен для студентов вузов и колледжей, которые изучают математический анализ. Нужно уметь находить производные многочленов, тригонометрических и показательных функций.

Задания трех видов одинаковой сложности:

• $x(t)$ и $y(t)$ — многочлены, $t_0$ — целое число;
• эллипс $x = a\cos t$, $y = b\sin t$ и похожие кривые при $t_0 = \frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$ или $\frac{7\pi}{4}$;
• функции с экспонентой при $t_0 = 0$.

Нужно найти значение $y'_x$ при $t = t_0$ и ввести его с клавиатуры. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Задания создаются заново при каждом ответе. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам.

В результате вы научитесь дифференцировать параметрически заданные функции. Этот навык нужен для касательных к кривым — эллипсу, циклоиде, астроиде — и в механике, где координаты точки зависят от времени.