Замена переменной в определенном интеграле

Тренажер учит вычислять определенные интегралы заменой переменной. Выбирают новую переменную $u = g(x)$, выражают через $du$ часть подынтегрального выражения и пересчитывают пределы интегрирования, поэтому возвращаться к старой переменной не нужно. Затем интеграл по $u$ находят по формуле Ньютона — Лейбница.

Тренажер предназначен для студентов вузов и колледжей, которые изучают математический анализ. Нужно знать таблицу первообразных и формулу Ньютона — Лейбница.

Задания трех видов одинаковой сложности:

• произведение $x^{m-1}$ на степень выражения $x^m + c$, например $\int_0^1 6x(x^2 + 2)^3\,dx$;
• корень в знаменателе: $\frac{x}{\sqrt{x^2 + c}}$ или $\frac{1}{\sqrt{px + c}}$;
• тригонометрические и логарифмические выражения: $\sin x\cos^n x$, $\cos x\sin^n x$, $\frac{\ln^n x}{x}$.

Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Задания создаются заново при каждом ответе. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам. В решении указаны замена, новые пределы и вычисление по формуле Ньютона — Лейбница.

В результате вы научитесь подбирать замену и пересчитывать пределы интегрирования. Замена переменной — один из основных методов интегрирования: она нужна при вычислении площадей, объемов и длин дуг и в физических приложениях.