Радиус сходимости степенного ряда

Тренажер учит находить радиус сходимости степенного ряда $\sum c_n (x - x_0)^n$. По признаку Даламбера $R = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$, по признаку Коши $\frac{1}{R} = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}$. При $|x — x_0| < R$ ряд сходится, при $|x - x_0| > R$ — расходится.

Тренажер предназначен для студентов вузов и колледжей, которые изучают математический анализ. Нужно уметь вычислять пределы последовательностей и сокращать дроби с факториалами.

Задания трех видов одинаковой сложности:

• коэффициенты со степенями и множителями $n$, $n^2$, $\sqrt{n}$ — признак Даламбера;
• коэффициенты с факториалами, например $\frac{(n!)^2}{(2n)!}$;
• коэффициенты вида $\left(\frac{pn + r}{sn + t}\right)^n$ — признак Коши — и ряды только с четными степенями $(x - x_0)^{2n}$.

Нужно найти радиус сходимости $R$ и ввести его с клавиатуры. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Задания создаются заново при каждом ответе. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам.

В результате вы научитесь выбирать признак и находить радиус сходимости. Это первый шаг при исследовании степенного ряда и при разложении функций в ряд Тейлора.