Первый замечательный предел

Тренажер учит вычислять пределы с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ и его следствий. При $u \to 0$ функции $\sin u$, $\operatorname{tg} u$, $\arcsin u$ и $\operatorname{arctg} u$ эквивалентны $u$, а $1 - \cos u$ эквивалентно $\frac{u^2}{2}$. В пределе произведения или частного функцию можно заменить эквивалентной.

Тренажер предназначен для студентов вузов и колледжей, которые изучают математический анализ. Нужно знать, какие бесконечно малые называют эквивалентными.

Задания трех видов одинаковой сложности:

• отношение функций вида $\sin 5x$, $\operatorname{tg} 2x$, $\arcsin 3x$, $\operatorname{arctg} 4x$ друг к другу или к $bx$;
• выражение $1 - \cos ax$ в числителе;
• произведение двух таких функций, деленное на $cx^2$, или произведение функции на $\operatorname{ctg} bx$.

Все пределы вычисляются при $x \to 0$. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Задания создаются заново при каждом ответе. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам.

В результате вы научитесь быстро вычислять пределы с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Таблица эквивалентностей нужна для сравнения бесконечно малых и сокращает решение многих пределов.