Правило Лопиталя

Тренажер учит вычислять пределы по правилу Лопиталя: если при $x \to a$ функции $f$ и $g$ одновременно стремятся к нулю, то $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$, когда последний предел существует. Если после дифференцирования снова получается $\frac{0}{0}$, правило применяют еще раз.

Тренажер предназначен для студентов вузов и колледжей, которые изучают математический анализ. Нужно уверенно находить производные показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

Задания пяти видов одинаковой сложности, все при $x \to 0$:

• $e^{ax} - 1 - ax$ в числителе и $bx^2$ в знаменателе;
• $e^{ax} + e^{-ax} - 2$ в числителе;
• $\ln(1 + ax) - ax$ в числителе;
• $ax - \sin ax$ в числителе и $bx^3$ в знаменателе — правило применяют три раза;
• $\operatorname{tg} ax - ax$ в числителе и $bx^3$ в знаменателе.

В каждом задании правило нужно применить несколько раз или после первого применения упростить выражение. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Задания создаются заново при каждом ответе. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам.

В результате вы научитесь применять правило Лопиталя и вовремя проверять, осталась ли неопределенность. Эти пределы показывают, как функции ведут себя вблизи нуля, и готовят к разложению функций по формуле Тейлора.